2010届二模闸北区高考数学理(2)

x2 4y．…………………………………………………………4分

（2）方法一：如图，设直线AB的方程为y kx 1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，……1分 则N( 2, 1). ……………………………………………………………………………1分 k

x2 4y,联立方程组 消去y得，

y kx 1,

2010届二模上海各区高考数学理

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 x2 4kx 4 0， ( 4k)2 16 0，故 …………………………………………1分 x1 x2 4k, ……………………………………………………………………………1分 xx 4. 12

由 1， 2得，

x1 22 1x1，x2 2x2，……………………………………………………2分 kk

整理得， 1 1 22， 2 1 ， kx1kx2

1 2 2 (2112x x224k ) 2 1 2 0.…………………4分 kx1x2kx1 x2k 4

方法二：由已知 1， 2，得 1 2 0. …………………2分 1 ① …………………………………………………3分 2如图，过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1， 1 ② …………………………………………………3分

由①，②得 1 2 0.…………………………………………………………………2分

20．（1）由已知an f(an 1)，f(an) f(an 1) k(an an 1)(n 2,3,4, )，得 an 1 an f(an) f(an 1) k(an an 1) (n 2,3,4, )

由数列{an}是等差数列，得an 1 an an an 1(n 2,3,4, )

所以，an an 1 k(an an 1)，(n 2,3,4, )，得k 1．………………………5分

（2）由b1 a2 a1 0，可得

b2 a3 a2 f(a2) f(a1) k(a2 a1) 0.

n 1且当n 2时，bn an 1 an f(an) f(an 1) k(an an 1) k(a2 a1) 0

所以，当n 2时，

2010届二模上海各区高考数学理

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 bn an 1 anf(an) f(an 1)k(an an 1)

b k，………………………4分 n 1an an 1an an 1an an 1

因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列．…………………………………………1分

（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当k 1时，数列{an}是等差数列，

所以k 1是数列{an}为等比数列的必要条件． ………………………………3分 解答二：写出充分条件，如f(x) 2x或f(x) 2x等，并证明 ……………… 5分 解答三：{an}是等比数列的充要条件是f(x) kx(k 1)……………………2分 充分性证明：

若f(x) kx(k 1)，则由已知a1 a 0，an f(an 1)(n 2,3,4, )得 an kan 1(n 2,3,4, )

所以，{an}是等比数列．……………………………………………………………2分 必要性证明：若{an}是等比数列，由（2）知，bn kn 1(a2 a

1)(n N)

b1 b2 bn 1 (a2 a1) (a2 a1) (an an 1) an a1(n 2)，

an a1 (b1 b2 bn 1)． …………………………………………1分

当k 1时，an a1 (a2 a1)(n 1)(n 2)．

上式对n 1也成立，所以，数列{an}的通项公式为：

an a (f(a) a)(n 1)(n N )．

所以，当k 1时，数列{an}是以a为首项，f(a) a为公差的等差数列．

所以，k 1．……………………………………………………………………1分 当k 1时，a1 kn 1

n a1 (a2 a1)1 k(n 2)．

上式对n 1也成立，所以，

1 kn 1f(a) a(f(a) a)kn 1

an a (f(a) a)1 k a 1 k 1 k……………………1分

2010届二模上海各区高考数学理

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 所以，a f(a) a 0 f(a) ka． …………………………………………1分 1 k

即，等式f(a) ka对于任意实数a均成立．

所以，f(x) kx(k 1)．……………………………………………………………1分