Arzela-Ascoli定理的一类推广

给出当K是紧空间、E是一般Banach空间时,C(K,E)的子集F是相对紧的一个必要条件,并指出在一般情况下,这一条件是不充分的.然后给出当E是有限维空间时F相对紧的一个充要条件,推广了Arzela-Ascoli定理.最后给出当E是特殊空间c0和lp(1≤p〈∞时连续函数族相对紧性的一类刻画.

第 1第6期 0卷Vo . 0, . 1 1 No 6

宜宾学院学报Ju n lo bn Unv ri o ra fYii iest y

21 0 0年 6月Jn u e,2 1 00

Are - cl定理的一类推广 zl Aso a i肖赘，刘信东(宜宾学院数学学院，四川宜宾 64 0 ) 4 00

摘要：出当 K是紧空间、给 E是一般 B nc aah空间时， ( E) C,的子集 F是相对紧的一个必要奈件，并指出在一般情况下，这一条件是不充分的.然后给出

3 E是有限维空间时 F相对紧的一个充要条件， 推广了A z a s l定理. r lAc i e- o最后给出 3 E是特殊空间c和 (≤<。时连续函数族相对紧性的一类刻 - ' 0 1 p。'-

画.

关键词： aah空间； Bn c相对紧；等度连续；一致有界中图分类号： 7 . 017 2文献标志码： A文章编号：6 1 5 6 (0 0 0 -0 2 - 4 17— 3 5 2 1 )6 04 0

A n r l a in o z l . c l Th o e Ge e ai to fAr ea As oi e r m zXI AO n,LI Xi gd n Yu U n— o g

( colfMahm ts Y i U i rt, i n 4 0 0 hn ) Sho o t ai, in nv sy Yb 4 0,C i e c b ei i6 aAb ta t et gK a o at p c n saB n c p c, eesr o dt na o t u st f K, sr c:S tn s cmp c aea dE a a ahs ae an c saycn io b u sb e Fo i a s i a C( E)i rlt ey s eai l vc mp c o b ban d I los o h ti E i nt— i n in s a e,t e sr ltv l o a ti sb t q io t u t o a tt eo ti e . tas h wst a f saf i dme so p c i e h n F i eaiey c mp c fF i oh e u c n i iy n a d u i r y b u d d.Th e ut xe d a d i rv h z l— c l t e r m . n nf ml o n e o er s l e tn n mp o et e Area As oi h o e s K e r:Ba a h s a e eaiey c m

p c;e u c n iu t y wo ds n c p c;r lt l o a t q io t i v n y;u i r y b un e n f ml o d d o

讨论实值连续函数族的一个重要方面是讨论它的紧性，正如经典的 Azl—so定理 ( r aA cl e i简称 A A定理 )1 -[指 1

集， A, B如果有 s>, 0使得以中各点为心，为半径 以的开球全体覆盖 A即A u0, )则称 B是 A的 s网., ( s,如果曰是有限集，则称曰是 A的有限 s网.

出：在闭区间[,] a b上的连续函数族相对紧当且仅当 F是等度连续且有界.对于这一结果，已进行了形式多样的推

定义 13: ( P是距离空间， .设 X, ) A是 8的子集，如果对任意>, 0都存在着 A的一个有限 s网，称集合 A则是完全有界的.

广，[]在 2中将闭区间[,] o b推广到紧空间 K,出 C K 指 ()的一个子集 F是相对紧的当且仅当 F等度连续且一致有

界；而在[] 7中则讨论了局部凸拓扑向量空间上的连续线性泛函族的相对紧性；[][]在 8和 9中也对 A— A定理进行了一定程度上的推广.但这些推广都是在实值范围内进行

从下述定理可看出，集合的相对紧性与完全有界有着重要的联系.

引理 1 1: 1度量空间中相对紧集必是完全有界 .… ( )集；2在完备度量空间中， ()完全有界集必是相对紧集. 注意到距离空间中的完全有界集必然是有界的，因而相对紧集必有界，但下面这个例子说明有界集却不一定就是完全有界集，

的，于是自然会想能否将实值连续函数推广到向量值连续函数呢？即假设 K是紧空间， E是 B nnh空间， ( E aac C K, )

表示从到 E的连续函数全体，则对 C K, ) ( E的任一子集 F,如何来刻画 F的相对紧性呢？该

1预备知识先回忆一下距离空间中关于紧性的一些常用的定义

例 11考虑 f .:的子集 A={,中 e=(,, e}其 0…0

与性质.定义 1 11: ( p是距离空间， .[设 X,) 1 A是的子集，如

10 )A显然是有界的.,…,但对 A的任意有限子集 B不妨 (n+I

设 B={:。, e}:)存在 e=(,, 0 )川 0…0 1,…∈A,任意对

果 A

中的任何点列必有在中收敛的子点列，就称 A是相对紧集. A还是闭的，若则称 A为紧集.定义 12: ( P是距离空间， .…设 X, ) A是的一个子收稿日期：2 1— 4 2 .回：2 1-0—0 01 0— 5修 01 5 3

的e∈, B都有 ln1= 2 1下面这个引理指出在有 - l l+el√> . e限维空间中相对紧与有界是等价的.

引理 12设 A是的子集， A是相对紧的当且 .u:则

作者简介：肖赘( 9 7 )男， 17一，四川宜宾人，师，讲硕士研究生，究领域：研泛函分析