江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考数学(理)试题(2)

AM BD,ME BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

BD 平面AEM AE 平面AEM BD AE

∵AB AD

,DB 2 ABD为等腰直角三角形 AM

1

BD 1， 2

AE2 AM2 ME2 2AM ME cos AME 1

113 2 1 cos60 AE 4242

AE2 ME2 1 AM2 AE ME

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M xyz， 则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),E(0,

BD ME,BD 平面BDC,ME 面BDC AE 平面BDC ………………6分

1

,0)， 2

13

A(0,,),D( 1,0,0),C( 1,1,0),

22

1DA (1,,),DC (0,1,0), AE (0,0, ) …………………8分

222

设平面ACD的法向量为 (x,y,z)

n DA 0

则 n DC 0

13

z 0 x y

22

y 0

令x 3,则z 2 n (,0, 2)

又 AE 平面BDC 为平面BDC的法向量设平面BDC与平面ADC所成的角为 ，则cos

3

2 277

…………………………12分

19． (本小题满分12分) 已知数列 an 满足a1

…………………………10分

1 a1 a2 an an 1

(1)求数列 an 的通项公式an；

1

（2）当 时，数列 an 中是否存在三项构成等差数列，若存在，求出来；

3

若不存在，请说明理由

解：由题意 1 a1 a2 an an 1 0 ① 1 a1 a2 an an 1 an 2 0 ② 由②-①得(1 )an 1 an 2 0，又 0, 1,n N*

1

an 1，故数列 an 从第二项开始为等比数列…………………………3分 ∴an 2

1 a11

将n 1代入①式，1 a1 a2 0,a2 7

11 n 2

() ∴n 2时，an

7

6

,n 1 7

∴数列 an 的通项an

1(1 )n 2,n 2 7

…………………………6分

6

， 7

0,( 0, 1,n N*),

6

,n 1 1 7

（2） ∴an

3 3 4n 2,n 2

7

∵假设存在任意三项am,ak,ap成等差数列 ①不防设当m k p 2

当n 2时，数列 an 单调递增， 2ak am ap

333

2 () 4k 2 4m 2 4p 2

777 2 4k p 4m p 1

由上式知：左边 偶数 右边 奇数 当n 2时，数列 an 不存在三项成等差数列

…………………………9分

②假设存在成等差数列的三项中包含a1时

不妨设m 1,k p 2且ak ap( 当n 2时，an a1)

2ap a1 ak

363

2 () 4p 2 () 4k 2

777 2 4p 2 2 4k 2

∴ 2(2p 3) 22(k 2) 2

k p 2

当且仅当k 3,p 2时成立

数列 an 存在a1,a2,a3或a3,a2,a1成等差数列

………………………12分

20.（本小题满分13分）

设不在y轴负半轴的动点P到F(0,1)的距离比到x轴的距离大1 (1)求P的轨迹M的方程；

(2)过F做一条直线l交轨迹M于A，B两点，过A，B做切线交于N点，再过A，B做y 1的垂线，垂足为C,D,若S ACN S ANB 2S BDN，求此时点N的坐标．

解：(1)设动点P的坐标为（x,y)

PF y 1

x (y 1) y 1

2

2

P的轨迹M的方程x2 4y(2)由题意知直线l的斜率存在设为k,

x2 4y

y kx 1

x2 4kx 4 0，设A（x1y1）B(x2y2) x1 x2 4k,x1 x2 4 x2 4y y' y'

x1

,y'2

x2

x2

x x1x x2

22x1x

过A的切线方程为y 1(x x1)

42xx

同理过B的切线方程为y 2 2(x x2)

42

……………………6分

设N点坐标为（a,b）则

x1,x2是方程x2 2ax 4b 0的两根 x1 x2 2a 4k,x1 x2 4 b 1

…………………………8分

由（1）知x1 x2 4k，所以N为线段CD的中点，取线段AB的中点E， ∵F是抛物线的焦点，∴AF AC,BF BD，∴AC BD AB， ∴S ANB S ANE S BNE

111

EN CN EN DN EN (CN DN) 222

AC BDAB CN

， EN CN CN

22

AC CNAF CN，BD DNBF CN， S BDN

2222

又 S ACN

S ACN S ANB 2S BDN

AF CNAB CNBF CN∴,即2BF AF AB …………………………11分 2

222

即2(x2 0) (0 x1) (x2 x1)，所以x2 2x1 2x2，x2 2x1，

∴x1 x2 2x1 4 x1 2，

2

22 2

当x1 2时，x2 22 a

2

2

, 1)…………………………13分 ∴所求点N的坐标为( 2当x1 2时，x2 22 a

21.（本小题满分14分）设函数f(x) x sinx数列 an 满足0 a1 1，an 1 f(an)(1)证明：函数f(x)在(0,1)是增函数；

（2）求证：0 an 1 an 1 （3）若a1

12

，求证：an n(n 2,n N*)

22

证明：（1）∵x (0,1)时，∴f'(x) 1 cosx 0恒成立， ∴函数f(x)在(0,1)是增函数；…………………………3分 （2） a2 f(a1) a1 sina1 a2 a1 sina1又 0 a1 1, a2 a1, 0 x

, sinx x恒成立

2

a2 a1 sina1 0 0 a2 a1 1

下面用数学归纳法进行证明：

…………………………5分

① 当n=1时0 a1 a2 1 命题成立

② 假设当n=k时命题成立，即0 ak 1 ak 1

0 f(0) f(x) f(1) 1 sin1 1 恒成立…………………………8分

f(0) f(ak 1) f(ak) f(1),即0 ak 2 ak 1 1 sin1 1 当n k 1时命题成立

根据①②可知对于任意n N*命题均成立

2

3 证法一：先证明an 1

2

a

n

2

aa

an 1 n an sinan n,an (0,1)

22

2

x2

令 （x) x sinx ,x (0,1).则 （'x) x 1 cosx

2

令g(x) '(x) x cosx 1,0 x 1 g'(x) 1 sinx 0

g(x)在（0，1）上单调递减，即 ‘（x)在（0,1）上单调递减又 0 x 1

'(x) '(0) 0 (x)在（0,1)上单调递减又 0 x 1

(x) (0) 0恒成立又 0 an 1

a

(an) 0,即an sinan n

2

2an

an 1

221

再证明a1 时，an n

222anaa

由an 1 n 1 n

2an2又 an an 1 an 2 a

2

∵

0

2

a1

n

aaaaaaaaaaa1

当n 2时，an a1 2 3 n a1 1 23 a1 1 11 1 n

a1a2an 122222222 1 2

1

2 1 n 1

22n 12n

1

an n

2

…………………………14分

n

1

证法二：利用数学归纳法和当x (0,)时，y sinx x单调递增 ak 1 f(ak)

62

1

ak sinak ak

2

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