最新高中数学第一章三角函数阶段复习课第2课三角函数的图象与性

最新人教版数学精品教学资料 第二课 三角函数的图象与性质及其应用

[核心速填]

1．三角函数的性质

(1)正弦函数：定义域为R ，值域为[－1,1]，奇函数，单调增区间：??????－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )；单调减区间：????

??π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) (2)余弦函数：定义域为R ，值域为[－1,1]，偶函数，单调增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )；单调减区间：[2k π，π＋2k π]

(3)正切函数：定义域为??????

????x ??? x ≠π2＋k π，k ∈Z ；值域为R ，奇函数，单调增区间：? ??

??－π2＋k π，π2＋k π 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用

A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响．

(1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响：

(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响：

(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响：

[体系构建]

[题型探究]

(1)函数y ＝tan ? ????2

x －3在一个周期内的图象是( )

(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?

????其中x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图1­3所示．

图1­3

①求f (x )的解析式；

②请写出g (x )＝f ?

????x ＋π3的表达式，并求出函数y ＝g (x )的图象的对称轴和对称中心. 【导学号：84352150】

(1)A [(1)y ＝tan ? ????12

x －π3的周期T ＝π12

＝2π，排除B ，D 当x ＝0时，tan ? ??

??－π3＝－ 3.故选A.] (2)①由图可知A ＝3，T 4＝7π12－π3，∴T ＝π?ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋φ)，∴2π3

＋φ＝π2，φ＝－π6，∴f (x )＝3sin ?

????2x －π6. ②由(1)知g (x )＝f ? ????x ＋π3＝3sin ??????2?

????x ＋π3－π6＝3sin ? ????2x ＋π2＝3cos 2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，∴所求的对称轴为直线x ＝k π2(k ∈Z )，令2x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝k π2＋π4

(k ∈Z )，∴所求的对称中心为?

??

??k π2＋π4，0(k ∈Z )． [规律方法] 五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的

交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线

y ＝sin x 的图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，对称中心为k π，

，k ∈Z

，

y ＝cos x 的图象的对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z ，对称中心为? ??

??k π＋π2，0，k ∈Z

， y ＝tan x 的图象的对称中心为? ??

??k π2，0，k ∈

Z 由已知条件确定函数y ＝A ωx ＋φ

的解析式，需要确定A ，ω，φ，其中A ，ω易求，下面介绍求φ的几种方法

①平衡点法

由y ＝A ωx ＋φ＝A sin ??????ω? ????x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可

以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x 1＝－\f(φ,ω)，则可求φ

②确定最值法

这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程

③利用单调性 将函数y ＝A

ωx ＋φ

的图象与y ＝sin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区

间得到一个等式，解答即可求出φ.

[跟踪训练]

1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的振幅为4，周期为6π，初相为－π

3.

(1)写出这个函数的解析式；

(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象． [解] (1)由已知得A ＝4，ω＝2πT ＝13，φ＝－π

3

，

因此这个函数的解析式为y ＝4sin ? ????13

x －π3.

(2)列表：

(1)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ? ????2x ＋3，则下面结论正确的是( )

A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

(2)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8

个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

A ．π2

B ．π4

C ．0

D ．－π4

(1)D (2)B [(1)因为y ＝sin ? ????2x ＋2π3＝cos ? ????2x ＋2π3－π2＝cos ?

????2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把

得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2? ????x ＋π12＝cos ?

????2x ＋π6. 故选D.

(2)y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8

个单位后 得y ＝sin ??????2? ????x ＋π8＋φ＝sin ? ??

??2x ＋π4＋φ.若该函数为偶函数， 则π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝k π＋π4.当k ＝0时φ＝π4

.故选B.] [规律方法]

1．函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 图象的两种方法

2．对称变换

(1)y ＝f (x )的图象――――→关于

x 轴对称

y ＝－f (x )的图象

(2)y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴

对称

y ＝f (－x )的图象

(3)y ＝f (x )的图象

――――→关于，对称

y ＝－f (－x )的图象 [跟踪训练]

2．将函数y ＝2sin ?

????2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) 【导学号：84352151】

A ．y ＝2sin ?

????2x ＋π4 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3 C ．y ＝2sin ? ????2x －π4 D ．y ＝2sin ? ????2x －π3 D [函数y ＝2sin ? ????2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ?

????2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ??????2? ????x －π4＋π6＝2sin ? ????2x －π3，故选

D.]

(1)f (x )在[0，π]上的

单调递增区间是( ) A.?

?????0，π2 B.??????π2，π C.????

??π4，π2 D.??????3π4，π (2)已知函数f (x )＝2sin ?

????2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． ①求f (x )的单调区间；

②若x ∈?

?????0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值. 【导学号：84352152】 [思路探究] (1)先根据函数f (x )是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．

(2)①由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 求增区间 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2

，k ∈Z 求减区间 ②先求f (x )的最大值，得关于a 的方程，再求a 的值．

(1)B [(1)因为函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，

所以φ＝π2，f (x )＝3sin ?

????2x ＋π2＝3cos 2x ， 令2k π－π≤2x ≤2k π，得k π－π2

≤x ≤k π， 可得函数f (x )的增区间为????

??k …… 此处隐藏：3219字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……