全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形

全等三角形复习

[知识要点] 一、全等三角形

② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：

找夹角（SAS）

已知两边 找直角（HL）

找第三边（SSS）

任意角（AAS） 若边为角的对边，则找 找已知角的另一边（SAS） 已知一边一角 边为角的邻边 找已知边的对角（AAS）

找夹已知边的另一角（ ASA）

找两角的夹边（ASA）

已知两角

找任意一边（AAS）

性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

运用

1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺

全等三角形

序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。 5、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

做题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以来采取逆思维的方式。 来想要证全等，则需要什么条件

另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。

（二）实例点拨

例1 （2010淮安） 已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。求证：AE=BD。 E

B

A C

解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下： 证明：∵点C是线段AB的中点 ∴AC=BC

∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD

在△ACE和△BCD中， AC=BC

∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴AE=BD 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。

例2 已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD

解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形

全等三角形

全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下：

证明：在△ABE和△ACE中

AB=AC， EB=EC， AE=AE

∴ △ABE≌△ACE (SSS) ∴∠BAE＝∠CAE 在△ABD和△ACD中 AB=AC

∠BAE= ∠CAE AD=AD

∴ △ABD≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。

例3.（2009·洛江中考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，

求证：AB=DE.

【证明】∵AC∥DF，∴ C F 在 ACB和 DFE中

AC DF

C F ACB和≌，∴和 DFEDFE中AB=DE. BC EF

17、（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长.

全等三角形

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，

2 1

在△ABE和△DAF中， AB DA，

4 3

∴△ABE≌△DAF.

（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o

在正方形ABCD中， AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o

在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=3 , DF =1, 由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1,

∴EF=AF-AE=3 1.

例4、（2009·吉林中考）如图， AB AC,AD BC于点D，AD AE，AB平分 DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

．．

【解析】（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、

全等三角形

△BFD≌△BFE、

△ABE≌△ACD（写出其中的三对即可）.

（2）以△ADB≌ADC为例证明．

证明： AD BC, ADB ADC 90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中，

AB AC,AD AD,

Rt△ADB≌Rt△ADC.

要点二、角平分线的性质与应用

例5、（2009·温州中考）如图，OP平分 AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A.PA PB B.PO平分 APB

C.OA OB

D.AB垂直平分OP

【解析】选D.由OP平分 AOB，PA OA，PB OB，可得PA PB，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，

所以可得PO平分 APB，OA OB.

例6、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。

【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得CD BD2 BC2 2 82 6,由角平分线性质得DE CD 6 答案：6.

全等三角形

【实弹射击】

A 1、 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。

B

D E 第1题图 2、如图：AC与BD相交于O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B

O

3、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点， 且DE=BF，说出下列判断成立的理由 .①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C

4、已知：BECF在同一直线上， AB ∥DE，AC∥DF，并且BE=CF。 求证：△ ABC≌ △ DEF

A

E 第3题图

B

D

F

C

A

第2题图 C

C

B

A

D

B

EC

F

第4题图

全等三角形

5、如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．

F

A

G

B

ED

C

6、如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC； （2）ΔBDH≌ΔADC。

E

D

C

7、如图，已知 ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 DEF也是等边三角形．

i. 除已 …… 此处隐藏：1847字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……