4_1_2简谐运动的能量和实例

第1章 振 动 (Vibration)

§1.1 简谐运动的描述§1.2 旋转矢量与振动的相§1.3 简谐运动的动力学方程§1.5 简谐运动的能量§1.4 简谐运动实例1.4

6 阻尼振动（自学）§1.1.6

共振（自学）§1.7 受迫振动

§1.8 同一直线上同频率的简谐运动的合成§1.9 同一直线上不同频率的简谐运动的合成

相互垂直的简谐运动的合成§1.111.11

引子：能量是什么？

例题：一冰球沿一光滑但不规则起伏的冰道运

4.0m/s，初始高度为0.46m，动，初速率为动，初速率为4.0m/s4.0m/s，初始高度为，初始高度为0.46m0.46m，

求冰球到达零高度时的速率？用牛顿第二定律能求吗？不能。

“能量”？简单，直观。为什么需要为什么需要“能量”

能量是一个标量（数），

它和一个或多个物体的状态相联系。能量的形式有哪些？

磁能、动能、势能、电能、电能、磁能、

核能、化学能、生物能……核能、化学能、生物能……简谐运动中可能有的能量形式？

§1.5简谐运动的能量Fo

x(t)=Acos(ω t+ )υ ( t )= ωA sin(ωt+ )

m x x

一、势能---与弹簧相联系 (弹性要素)1 2 1 2 2 E p= kx= kA cos (ω t+ ) 2 2 t+T 1 1 1 2 2 E pmax= kA, E pmin= 0 E p= E dt= kA p∫ 4 T t 2

二、动能---与物块相联系(惯性要素)1 2 1 E k= mυ= kA 2 sin 2 (ω t+ ) 2 2 1 2 1 t+T 1 2 E k max= kA, E k min= 0 E k=∫ E k dt= kA 2 T t 4中国石油大学，冯金波

三、机械能1 2 E= E k+ E p= kA 21 2 E p= kA cos 2 (ω t+ ) 2

等于常数意味着什么呢？

简谐运动系统机械能守恒，也无损耗 (无阻尼),能量没有输入(自由振动),各时刻机械能=起始能量E0 (t=0时输入的能量)。1 2 kA 2A

1 2 E k= kA sin 2 (ω t+ ) 2

E Ek Ep

o-A

T

t

x中国石油大学，冯金波

三、机械能作为时间t的函数：1 2 kA 2A

E Ek Ep

o-A

T

t

x

作为位移x的函数：1 2 kA 2E Ep Ek

1 2 E p= kA cos 2 (ω t+ ) 2 1 2= kx 2 1 2 2 E k= kA sin (ω t+ ) 2 1 2 1 2= kA kx 2 2

1 2 E= E k+ E p= kA 2

抛物线-Ao

x+A

能量在势能和动能之间转化总机械能守恒中国石油大学，冯金波

四、由起始能量求振幅用能量的概念我们能干什么呢？1 2 E= E k+ E p= kA= E 0 2

A=

或：

2 E0 k

2υ 2 A= x0+ 02初始势能初始动能ω 2 2 mυ0 2 1 2 1υ0 2 2 2 2= kx0+ mυ 0 A= x0+ 2= x0+ k 2 2ω k

简谐运动的振幅决定于振动的总能量中国石油大学，冯金波

五、从能量转移角度导出简谐运动的动力学方程机械能1 2 1 2 1 2 E= E k+ E p= mυ+ kx= kA=常数 2 2 2

用能量的概念我们能干更多的事吗？总机械能守恒，能量在势能和动能之间

转化1 2 dE d 1 2= mυ+ kx = mυ dυ+ kx dx 0= dt dt 2 2 dt dt dxυ= dt

dx dx d 2 x=m+ kx=0 2 dt dt dt

d2x k+ x=0 2 dt m

---简谐运动动力学方程中国石油大学，冯金波

引子：伽利略与油灯的故事

(1564～1642 )

1583年，伽利略在比萨教堂祈祷，其注意力

被点亮以后还在摆动的大油灯的吸引，他用自己的脉搏计算油灯摆动的时间。发现

即使运动已大大减弱，摆动时间仍大致相等。

摆的等时性！

§1.4简谐运动实例一、单摆数学摆，理想化摆 lθ 1.摆线无质量、不可伸长 T 2.摆的悬挂处没有摩擦 ft 3.悬挂的物体可看作质点 fn mg如何判断其是否做简谐运动呢？取竖直方向为角位质点路径为圆弧，移θ的零点位置，分析其切向分力，即取角位移θ的正方向重力的切向分量为为逆时针方向 f t= mg sinθ中国石油大学，冯金波

方法1:牛顿定律→动力学方程重力的切向分量为 f t= mg sinθ在角位移θ很小时，f t= mgθ

θ

l T ft fn mg

力和角位移正比而反向，是一种准弹性力。 d 2θ质点的切向加速度为 a t= l 2 dt 2 dθ由牛顿第二定律可得 ml 2= mgθ dt 2 g dθ gω=即单摆的角频率+θ= 0 l dt 2 l在小角位移情况，单摆的运动是简谐运动。

中国石油大学，冯金波

方法2:转动定律→动力学方程重力的切向分量为 f t= mg sinθlθ对悬点的恢复力矩 M= l ( mg sinθ ) T由转动的牛顿第二定律，得 l ( mg sinθ )= Jα ft f n sinθ≈θ在角位移θ很小时， mg lmgα= θ ---简谐运动 J 2 a( t )= ω x ( t ) ---加速度与位移成正比而反向

lmg单摆的角频率ω== J

lmg ml 2

ω=

g l

中国石油大学，冯金波

方法3:从能量转移的角度研究单摆势能 mgx= mg ( l l cosθ ) 1 2θ 2= mgl 2 sin≈ mglθ 2 2θ

lT

1 1 1 2 2 2 1 2 2′ mυ= Jω′= m(lω )= mlω′动能 2 2 2 2弹性要素 mgl gω==单摆的角频率ω= l惯性要素 Jl 2π单摆的周期 T== 2π gω l T= 2π g中国石油大学，冯金波

mg

复摆(物理摆)重力作用在质心 C上，转轴为O,恢复力为重力分量 f t= mg sinθ恢复力对转轴的距离为 lc复摆与单摆唯一差别mgl cω= J J T= 2π mgl c

oθ

lc

c

ftmgθ

fn

:应用应用：测量g

lT

mg中国石油大学，冯金波

小结：简谐运动中线量-角量的对比线量位移加速度恢复力牛顿第二定律角量θ ( t )=θ m cos(ω t+ )

x(t)=Acos(ω t+ )a( t )= ω 2 x ( t )F= kx

α ( t )= ω 2θ ( t )M= κθκ:扭转常量

F= ma

M= Jα

线简谐运动

角简谐运动中国石油大学，冯金波

二、LC振荡

如何分析该振荡电路呢？

L、C是储能元件， A+ C存储电能电容C:

L B存储磁能电感L:研究发现： K LC电路中电荷、电流和电势差做周期性变化,这导致电容器电场、电感器磁场的振荡，称为电磁振荡。相应地，能量亦作周期性变化,即，电能和磁能不断相互转化。假设电路中能量没有损耗(电阻为零)。中国石油大学，冯金波

二、LC振荡任意时刻，LC电路的总能量为1 2 1 2 E= EE+ EB= q+ Li 2C 2

没有能量损耗，E对时间保持不变，即dE/dt=0di dE d 1 2 1 2 q dq+ Li= q+ Li = dt dt dt 2C 2 C dt dq q dq dq d 2 q i==+L 2=0 dt C dt dt dt d 2q 1+ q= 0 --- LC振荡基本微分方程 2 dt LC

对比

d2x k+ x=0 2 dt m

---简谐运动动力学方程中国石油大学，冯金波

二、LC振荡d 2q 1+ q=0 2 dt LC d2x k+ x=0 2 dt m

--- LC振荡基本微分方程

对比

电容器上电量 LC振荡角频率

---简谐运动动力学方程 q( t )= q0 cos(ω t+ )ω=1 LCωq0 q0 o -q0 -ωq0 q、i q i T t

q0为电量变化的振幅； 是初相。电路中电流

i ( t )= ω q0 sin(ω t+ )中国石油大学，冯金波

小结：电磁振荡-机械振动物理量的对比

q~ x q( t )= q0 cos(ω t+ ) i~υ1 C

x(t)=Acos(ω t+ )υ ( t )= ω A sin(ω t+ )1 2势 E p= kx能 2 1 2动 Ek= mυ能 2kω= m中国石油大学，冯金波

i ( t )= ω q0 sin(ω t+ )1 1 2电 EE= q能 2C

~ k

L~ mω

磁 1 2 E B= Li能 2ω=1 LC

三、稳定平衡位置附近的微小振动

稳势能为 …… 此处隐藏：2198字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……