圆的切点弦方程的九种求法

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圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：
1、在标准方程 下过圆上一点 的切线方程为： ；
在一般方程 （ ） 下过圆上一点 的切线方程为：
。
2、两相交圆 （ ）与 （ ） 的公共弦所在的直线方程为： 。
3、过圆 （ ）外一点 作圆的切线，其切线长公式为： 。
4、过圆 （ ）外一点 作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为： （在圆的标准方程下的形式）； （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆 外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为 （当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：
即
由 消去 并整理得
①
令 ②
解②得 或
将 或 分别代入①解得 、
从而可得 A( , )、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB的方程为： 。
解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为 （当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：
即
由圆心C(1,2)到切线 的距离等于圆的半径3，得
③
解③得 或
所以切线PA、PB的方程分别为： 和
从而可得切点 A( , )、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB的方程为： 。
解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为 ，根据已知条件可得
|PC|= ， ，
在 中，|PA|=5，
由夹角公式，得 ④
解④得 或
所以切线PA、PB的方程分别为： 和
从而可得切点 A( , )、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB的方程为： 。
解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点
如图示1，根据已知条件可得
|PC|= ， ，
在 中，|PA|=5，AH PC，从而可得
由定比分点公式，得 H( , )
又因为
再根据点斜式方程得直线AB的方程为： 。
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经
过以P为圆心|PA|为半径的圆C`与圆 的交点的直线，由切线长公式得
|PA|=
所以圆C`的方程为
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得
即 直线AB的方程为： 。
解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二
如图示3，因为PA CA，PB CB，所以P、A

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、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为

即
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得
即 直线AB的方程为： 。
解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义
设切点A、B的坐标分别为 、 ，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为
和

因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得
⑤
由式⑤知，直线 经过两点A 、B ，
所以，直线AB的方程为： 。
解法八：直接运用圆的切点弦方程
因为P（-4，-1）是圆 外一点，根据切点弦所在直线的方程 得

整理得，直线AB的方程为： 。
解法九：运用参数方程的有关知识
如图4，将圆的普通方程 化为参数方程：
（其中 为参数）
设切点A的坐标为（ ， ），由PA CA得
化简，整理得
⑥
又因为

可设直线AB的方程为 ，将点A（ ， ）代入并整理，得
⑦
由式⑥和⑦知， ，从而得
所以，直线AB的方程为：