§4.11 离散傅里叶变换及其性质

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§4.11

离散傅里叶变换及其性质

离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机 去实现,然而序列f(k)的离散时间傅里叶变换 jθ) 的离散时间傅里叶变换F(e 去实现,然而序列 的离散时间傅里叶变换 的连续函数.为便于计算机去实现, 是θ的连续函数.为便于计算机去实现,引入离散傅 里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT) 里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换DFT DFT与DTFT,DFS的关系 与 , 的关系 DFT的性质 的性质

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一.离散傅里叶变换 一.离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(DFT)借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT. 借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT. DFS的概念导出有限长序列的DFT 将有限长序列f(k)延拓成周期为 的周期序列 N(k) 延拓成周期为N的周期序列 将有限长序列 延拓成周期为 的周期序列ff (k) fN(k)

f N (k) =

l =∞

∑ f (k + lN)o(a)

∞

N-1

k

o(b)

N-1 N

2N-1 k

F(n) = DFT[ f (k)] =

N1 k =0

∑

f (k) e

j

2π kn N 2π

主值区间

=

N1 k =0

∑

f (k)W kn (0 ≤ n ≤ N 1)

j kn 1 N1 1 N1 f (k) = IDFT[ F(n)] = F(n) e N = F(n)W kn (0 ≤ k ≤ N 1) N n=0 N n=0

∑

∑

若将f(k),F(n)分别理解为 N(k),FN(n)的主值序列,那 若将 , 分别理解为f , 的主值序列, 分别理解为 变换对与DFS变换对的表达式完全相同. 变换对的表达式完全相同 么,DFT变换对与 变换对与 变换对的表达式完全相同.▲ ■ 第 2页

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DFT举例 DFT举例求下列矩形脉冲序列的离散傅里叶变换. 例:求下列矩形脉冲序列的离散傅里叶变换.1, k = 0,1,…N 1 f (k) = RN (k) = k其 他 0, N1k N1 j 2πn Wkn = e N k =0

∑ 解 F (n) = DFT[f(k)] = k=0仅当n=0时, 时 仅当ej 2πn N

RN (k)W kn =

N1 k =0

∑

∑

= 1 F (0) =N

当n=1,2,…,N-1时, , , , - 时(ej 2πn N )N

2πn j 2πn j 1 (e N ) N , (e N ≠ 1) 2πn j = 1 (e N ) 2πn j N, (e N = 1)

=e

j2πn

=1

F (n) =0

F (n) =Nδ(n)

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二,DFT与DTFT,DFS的关系 DFT与DTFT,DFS的(1)离散傅里叶变换 )离散傅里叶变换DFT是为了便于用计算机近 是为了便于用计算机近 似计算离散时间傅里叶变换DTFT而引入的.因此, 而引入的. 似计算离散时间傅里叶变换 而引入的 因此, DFT与DTFT存在一定关系,其关系为 存在一定关系, 是对F(e 与 存在一定关系 其关系为F(n)是对 是对 jθ)在2π周期内进行 次均匀取样的样值,即 次均匀取样的样值, 在 周期内进行N次均匀取样的样值π F(n)= F(ejθ) θ =2N n

看作有限长序列f(k)以N为周 看作有限长序列 以 为周 (2)若周期序列 N(k)看作有限长序列 )若周期序列f 期拓展而成, 离散傅里叶级数DFS的FN(n) 期拓展而成,则fN(k)离散傅里叶级数 离散傅里叶级数 的 离散傅里叶变换DFT 的F(n)在0~N–1范围相 与f(k)离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 在 范围相 等.▲ ■ 第 4页

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DTFT与DFT举例 DTFT与DFT举例求矩形脉冲序列的DTFT和DFT(N=10). 例:求矩形脉冲序列的 和 .F(e ) = ∑ejθkjθ k =2 2

f(k) 1

5θ sin 2 = θ sin 2 j kn 5

-3 -2 -1

o

1 2 3 4

k

5πk

F (e jθ )

F(n) = sin( sin(

k =<N>

∑ f (k)en) n)

π

j 5 n = ∑e 2π k =2 2

π

-15

oF(n)

π

2π

θ

π π2

=

10

o 2

4

6

8

10

n

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三,离散傅里叶变换的性质1. 线性 若 f1(k)←→ F1(n) f2(k)←→ F2(n)

则 a1f1(k)+a2 f2(k) ←→ a1F1(n)+a2F2(n) 2. 对称性 则 若 f(k)←→ F(n) F(k) ←→ N f((–n))

f((–n))应是 应是f(n)周期拓展之后反转 周期拓展之后反转——称圆周反转. 应是 周期拓展之后反转 称圆周反转.

▲

■

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3. 时移特性圆周位移(循环位移): 圆周位移(循环位移) 圆周位移 将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列 N(k), 周期拓展成周期序列f 将有限长序列 周期拓展成周期序列 , 再右移m位 得到时移序列f 再右移 位,得到时移序列 N(k –m),最后取其主 , 值而得到的序列称为f(k)的圆周位移序列,记为 序列, 值而得到的序列称为 的圆周位移序列 f ((k –m))NGN(k) 时移特性 时移特性 若 f(k)←→ F(n)

则 f ((k –m))NGN(k) ←→ WmnF(n)▲ ■ 第 7页

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DFT时移特性证明 DFT时移特性证明DFT[ f ((k –m))NGN(k)]=DFT[ fN (k –m)GN(k)]=N1 k =0

令i=k-m,有 - , DFT[ f ((k –m))NGN(k)]= 由于fN (k )和 e 由于 和Nm1 i=m

∑ f N(k m) ei=m

j

2π kn N

Nm1

[

∑

f N(i) e

j

2π 2π in j mn N ]e N

j

2π in N

都是以N为周期的函数,因此 都是以 为周期的函数, 为周期的函数2π in N

∑

f N(i) e

j

=

N1 i=0

∑ f N(i) e

j

2π in N

=F(n)

故

DFT[f ((k –m))NGN(k)]= WmnF(n)

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4. 频移特性(调制) 频移特性(调制)若 f(k)←→ F(n) 则 W–l kf (k) ←→ F((n –l))NGN(n)

▲

■

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5. 时域循环卷积(圆卷积)定理 时域循环卷积(圆卷积) 线卷积: 线卷积: 有限长序列f 的长度分别为N和 , 有限长序列 1(k)和f2(k)的长度分别为 和M,则两 和 的长度分别为 序列的卷积和f(k)(称为线卷积 仍为有限长序列序 称为线卷积 序列的卷积和 称为线卷积)仍为有限长序列序 长度为N+M –1. 列,长度为 . 循环卷积: 循环卷积: 有限长序列f 的长度相等, 有限长序列 1(k)和f2(k)的长度相等,均为 ,则 和 的长度相等 均为N, f1(k)与f2(k)的循环卷积定义为 与 的循环卷积定义为f1(k)Θf2 (k) = ∑ f1(m) f2 ((k m)) N = ∑ f2 (m) f1((k m)) Nm=0 m=0 N1 N1

循环卷积结果的长度仍为N.若两序列长度不等, 循环卷积结果的长度仍为 .若两序列长度不等,采 补零法. 用补零法.▲ ■ 第 10 页

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循环卷积例所示f 例 求图 (a)和(b)所示 1(k) 和 所示 的循环卷积f(k). 与f2(k)的循环卷积 的循环卷积 . 补一个零点, 解 将f1(k)补一个零点, 补一个零点 使f1(k)与f2(k)的长度均 与 的长

度均 4 为5. .f (k) =m=0

f1 (k)1 -2 -1 o 1 2 3 k o

f2(k)1 2 3

4

1 2 3 4

k

(a)

(b)

∑ f1(m) f2 ((k m))5G5(k)

f2((-m))5G5 (0) 4 3

f (0) =

m=0

∑ f1(m) f2 ((m))5G5(0)

4

2

1 m

o 1 2 3 4

f(0)= f1(0) f2((0)) + f1(1) f2((–1)) + f1(2) f …… 此处隐藏：3122字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……