高一必修2多媒体教案2.3.4 平面与平面垂直的性质

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2.3.4

平面与平面垂直的性质

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1.掌握两个平面垂直的性质定理及其应用. 2.对性质定理进行变式探究，提高发现问题、提出问题的 能力. 3.掌握线面垂直及面面垂直的转化关系 ，以及空间问题 向平面转化的思想.

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直立于地面上的屏风的折叠棱与地面有何位置关系？

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思考1

黑板所在的平面与地面所在的平面垂直， 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?

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思考2

如图，长方体中，α⊥β,

(1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定(2)什么情况下α里的直线和β垂直？D1

与AD垂直C1

FA1

α

B1

D

EA B

β

C

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思考3

, CD, , AB

AB CD,

垂足为B,那么直线AB与平面 的位置关系如何？ 为什么？ 垂直

Eβ Dα B C A

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证明:在平面 内作BE⊥CD,

垂足为B.则∠ABE就是二面角 的平面角. CD

Eβ D α B A

∵ , ∴AB⊥BE.又由题意知AB⊥CD,

且BE CD=B∴AB⊥ .

C

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平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直. 符号表示: CD AB AB AB CD AB CD B

C

A B D

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关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线. C

A B D

作用： ①它能判定线面垂直. ② 它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线. 面面垂直

线面垂直

(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)

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思考4

设平面 ⊥平面 ,点P在平面 内，过点P作平

面 的垂线a,直线a与平面 具有什么位置关系?直线a在平面 内 α aβ

αaβ

P

P

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两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的 直线在该平面内.

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思考5

已知平面 , AB,直线a∥ ,

a AB,试判断直线a与 的位置关系.

垂直

α b B lβ A

a

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例1

如图，已知平面 , , ,直线a满足a

且a ,试判断直线a与平面 的位置关系.

平行

分析：寻找平面α内与a平行的直线. α b l β A a

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解：在α内作垂直于 与 交线 的直线b,∵ ,

α b l β a

∴

b ,

∵

a ,

∴a∥b. A

又∵a , ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.

结论：垂直于同一平面的直线和平面平行( a ).

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1.已知两个平面垂直，下列命题中正确的有(

B ).

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条 直线；

③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂 直于另一个平面.

A.3

B. 2

C.1

D.0

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2.判断下

列命题的真假：

①两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直.

×

②两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的两直线一

定分别与另一个平面垂直.

×√

③两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线 的垂线，则此直线必垂直与另一个平面.

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④垂直于交线的直线必垂直于平面β .

×

⑤过平面α 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于 平面β .

√

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3.下列命题中，正确的是( B ) A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C.若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直 D.a,b异面，过不在a,b上的点M,一定可以作一个平面 和a,b都垂直.

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4.如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, 求证：BC⊥平面PAB. 证明：过点A作AE⊥PB,垂足为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, ∴AE⊥平面PBC.

P

∵BC 平面PBC,∴AE⊥BC∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,

A

C

∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAB

B