数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

目录

摘要 .................................................................................................................................... 2

ABSTRACT....................................................................................................................... 3

第一章引言 ........................................................................................................................ 4

第二章最小二乘法 ............................................................................................................ 4

2.1最小二乘拟合 ........................................................................................................... 4

2.2 线性最小二乘拟合 .................................................................................................. 5

2.3 小结 ......................................................................................................................... 6

第三章快速算法及基本原理 ............................................................................................ 6

3.1 H-变换 ..................................................................................................................... 6

3.2 QR分解..................................................................................................................... 9

3.3 算法 ........................................................................................................................ 10

第四章最小二乘法的正交化方法 .................................................................................. 12

第五章 MATLAB代码实现 .......................................................................................... 13

5.1 HOUSEHOLDER变换 ................................................................................................ 13

5.2 用HOUSEHOLDER变换来做QR分解.................................................................... 14

5.3 QR分解 ................................................................................................................ 15

第六章应用 ...................................................................................................................... 16

第七章总结 ...................................................................................................................... 17

谢辞 .................................................................................................................................. 18

参考文献 .......................................................................................................................... 19

注释 .................................................................................................................................. 20

附录 .................................................................................................................................. 21

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

摘要

本文介绍了数据拟合中最小二乘法的基本原理，并根据最小二乘数据拟合方法，针对线性最小二乘拟合及其快速算法（运用HOUSEHOLDER变换及QR分解）进行了分析和研究，并通过数学工具Matlab实现了对相关问题的举例应用，使相关数据拟合理论更加生动易懂.

关键词：数据拟合，最小二乘法，

householder变换，应用

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

ABSTRACT

This thesis introduces the basic principle of the least square data fitting. According to the least square data fitting ,the paper studies and analyzes the linear least square fitting using the Householder matrix transformations and QR decompositions of the matrix. Using Matlab makes the theory of data fitting easier to be understood. The method of operation and compose of Matlab is quite easy and the result is accurate. It is very convenient for solving practical problems.

Key Words:data fitting least square method householder transformation application

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

第一章引言

实验数据的正确处理关系到能否达到实验目的、得出明确结论. 在进行实验数据的处理分析时，数据拟合是经常采用的方法之一. 数据拟合的目标是寻找一条光滑数据，使之在某种准则下最佳地拟合数据.

本文论述了最小二乘数据拟合法的若干原理，介绍了如何对数据应用Matlab软件实现数据拟合，并给出了若干实例帮助理解相关理论及Matlab实现

最小二乘问题在数据拟合、参数估计和函数逼近等方面中有着广泛的应用.

第二章最小二乘法

2.1最小二乘拟合

给出m组观测数据(ti,yi),i=1,2, ,m.可以认为它是某一模型

= + , ∈[ , ]

得到的，其中 是“真正”的光滑函数，ε x 是误差函数，y(x)是 经 干扰所得到的，因此借用物理学名词，又把ε x 成为白噪音过程， = , = , ∈[ , ](i=1,2, ,m),而 是观测的随机误差.

设 是带有n个参数的数据拟合函数，记

= ( )

= ( )

决定 中的参数，使

2φ= = [ ( )]2

=1 =1

达到极小，这就是最小二乘拟合问题，也常称为最小二乘法或最小二乘逼近，所求得的解称最小二乘解.

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

2.2 线性最小二乘拟合

k次代数多项式是1, , , 的线性组合

=

=1

由于 由k+1个系数 0, 1, , 唯一确定，所以又称为k+1阶多项式. 一般地，设 1 , 2 , , ( )是x的函数，并且它们是线性无关组，则其线性组合

= 1 1 + 2 2 + + ( )

=

j=1

称为n阶广义多项式，取广义多项式为拟合函数的最小二乘拟合问题称为线性最小二乘问题.

对于m组观测数据( , ), =1,2,…, ，计算广义多项式P(x)在x= 处所得的值P( )与 之差的平方和为

φ= [ ]2= [ ]2

=1 =1 =1

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