1.1.2导数的几何意义

最新2011数学选修2-2

1.1.2导数的几何意义 导数的几何意义

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回顾①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x y=f(x)的定义域为 ∈D,f(x)从 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: 平均变化率为:

f = x

f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y △ f(x1) O

Y=f(x)

②割线的斜率

f k= = x

f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1

B

A x2-x1=△x △x x1 x2

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回顾我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 瞬时速度 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 在 处的瞬时变化率是: 从函数

以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

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回顾我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 瞬时速度 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 在 处的瞬时变化率是: 从函数

以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

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由导数的意义可知,求函数 在点x 由导数的意义可知 求函数y=f(x)在点 0处的 求函数 在点 导数的基本方法是: 导数的基本方法是( )求 数 增 = f (x0 + ) f (x0); 1 函 的 量y x

回 顾

x y f (x0+ ) f (x0) (2)求 均 化 平 变 率 = ; x x y (3 取 限 得 数 ′(x0) = lim . ) 极 ， 导 f → x 0 x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负. 这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择 的形式是多样的,但不论 自变量的增量 的形式是多样的 但不论 选择 哪种形式, 也必须选择与之相对应的形式. 哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 也必须选择与之相对应的形式

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导数的几何意义:y y=f(x) Q 割 线 T 切线

P

α

o

x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P处的切线. 们把直线 称为曲线在点 处的切线

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设切线的倾斜角为α 那 设切线的倾斜角为α,那 么当 x→0时,割线 的斜 割线PQ的斜 么当 时 割线 称为曲线在点P处的 率,称为曲线在点 处的切 称为曲线在点 处的切 线的斜率. 线的斜

率'

y

y= Q f( x) Pα

割 线 T 切 线 x

o

f (x0 + x) f (x0) y 即: k切线 = f (x0) = lim = lim x→ 0 x x→ 0 x这个概念: 这个概念 ①提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法; 率的一种方法 切线斜率的本质——函数在 函数在x=x0处的导数 处的导数. ②切线斜率的本质 函数在要注意,曲线在某点处的切线 与该点的位置有关 要注意 曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关 曲线在某点处的切线 与该点的位置有关; 2)曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个 甚至可以无穷多个. 可以有多个 甚至可以无穷多个

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求曲线y=f(x)=x2+1在点 在点P(1,2)处的切线方程 处的切线方程. 例1:求曲线 求曲线 在点 处的切线方程 f ( x0 + x) f ( x0 ) 解 : k = lim y x→0 Q x (1 + x)2 + 1 (1 + 1) = lim 2 x→0 y = x +1 x 2 x + ( x)2 = lim = 2. x→0 x P 因此,切线方程为 切线方程为y-2=2(x-1), 因此 切线方程为 x 即y=2x.1

y

M

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: 的基本步骤 求出P点的坐标 点的坐标; ①求出 点的坐标 ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; 出切线的斜率 利用点斜式求切线方程. ③利用点斜式求切线方程

x

-1 O

1

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1 3 8 y = x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 练习 如图已知曲线 求 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率 (2)点P处的切线方程 处的切线的斜率; 处的切线方程. 点 处的切线的斜率 点 处的切线方程

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练习已知f ( x ) = x , 求曲线在x = 2处的切线的斜率2

变式： 1 )曲线y = x 在点p处的切线斜率为k,3

当k = 3时，求点p的坐标 1 2)求f ( x ) = 2 过点 (1,1)的切线方程 x 1 3)求f ( x ) = 2 过点 ( 3,3)的切线方程 x

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函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 由函数 在 处求导数的过程可以看到 当 是一个确定的数.那么 那么,当 变化时 便是x 变化时,便是 时,f’(x0) 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是 的一个函数,我们叫它为 我们叫它为f(x)的导函数 即: 的导函数.即 的一个函数 我们叫它为 的导函数

y f (x+ x) f (x) f ′(x) = y′ = lim = lim x→ 0 x x→ 0 x 在不致发生混淆时，导函数也简称导数. 也简称导数 在不致发生混淆时，导函数也简称导数.函 y = f (x)在 x 处 导 f ′(x ) 数 点0 的 数 0 等 函 f (x) 导函数 ′(x)在 x 处 于 数 的 ( ) f 点0 的 函 值 数 .

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如何求函数y=f(x)的导数 的导数? 如何求函数 的导数( )求 数 增 = f (x+ ) f (x); 1 函 的 量y x(2)求 数 增 与 变 的 量 比 : 函 的 量 自 量 增 的 值 y f (x+ ) f (x) x = ; x

x

y (3 求 限 得 函 y′ = f ′(x) = lim . ) 极 ， 导 数 → x 0 x

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看一个例子:例4.已知 y = y = x

x,求 y ′.x x + x + x

解： y = x + x x =1 x + x + x

y 1 1 ∴ y′ = lim = lim = . x →0 x x →0 x + x + x 2 x

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下面把前面知识小结: 下面把前面知识小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念， 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤： 要切实掌握求导数的三个步骤： 要切实掌握求导数的三个步骤 (1)求函数的增 量； ) (2)求平均变化率； )求平均变化率； (3)取极限，得导数。 )取极限，得导数。

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小结:c.弄清“函数f(x)在点 0处的导数”、“导函数”、 弄清 …… 此处隐藏：2781字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……