2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式

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一 二维形式的柯西不等式

1．二维形式的柯西不等式

(1)定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2

＋b 2

)·(c 2

＋d 2

)≥(ac ＋bd )2

，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．

(2)二维形式的柯西不等式的推论：

(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2

(a ，b ，c ，d 为非负实数)；

a 2＋

b 2·

c 2＋

d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R)．

2．柯西不等式的向量形式

定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．

柯西不等式的向量形式中α·β≤|α|·|β|，取等号的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.

3．二维形式的三角不等式

(1)定理3：x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 2

1＋y 2

1＋x 2

2＋y 2

2≥x 1－x 22

＋y 1－y 22

. (2)推论：对于任意的x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，有

x 1－x 3

2＋

y 1－y 3

2

＋

x 2－x 3

2

＋y 2－y 3

2

≥ x 1－x 2

2

＋y 1－y 2

2

.

事实上，在平面直角坐标系中，设点P 1，P 2，P 3的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，

y 3)，根据△P 1P 2P 3的边长关系有|P 1P 3|＋|P 2P 3|≥|P 1P 2|，当且仅当三点P 1，P 2，P 3共线，并且

点P 1，P 2在P 3点的异侧时，等号成立．

设m 2x 2＋y

2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.

可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．

∵m 2x 2＋n 2

y

2＝1，

∴x 2

＋y 2

＝(x 2

＋y 2

)? ????m 2

x 2＋n 2

y 2≥? ????

x ·m x

＋y ·n y 2＝(m ＋n )2

.

利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的

2 基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．

1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2

＝1，求证：|ax ＋by |≤1.

证明：由柯西不等式，得(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1，

∴|ax ＋by |≤1.

2.已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数， 求证：(a 1b 1＋a 2b 2)? ??

??a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)? ??

??a 1b 1＋a 2b 2 ＝????

??? ????a 1b 12＋? ???? a 2b 22 ≥? ??

??a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证： a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )．

证明：由柯西不等式，得a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，

即2·a 2＋b 2≥a ＋b .

同理2·b 2＋c 2≥b ＋c ，2·a 2＋c 2≥a ＋c ，

将上面三个同向不等式相加，得

2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )，

∴ a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2

≥ 2·(a ＋b ＋c ).

求函数y ＝ 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值． 由柯西不等式，得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α

＋4cos α≤5.

当且仅当sin α3＝cos α4>0，即sin α＝35，cos α＝45

时取等号，即函数的最大值为5.

利用柯西不等式求最值

(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；

(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常