2007-2008学年高等量子力学试题

高量

2007-2008学年高等量子力学试题(参考答案)

1. 幺正算符在什么情况下也是厄米算符？x p是否为厄米算符？利用对偶空间的概念说明厄米算符的本征值为实数。

解：①对于幺正算符，有A=A；对于厄米算符，有A=A

因此当A=A时，幺正算符也是厄米算符。 ②∵(x p)=p x=p x=x p ih≠x p

+

+

+ 1

+

1

+

∴x p不是厄米算符

③设一厄米算符A，有Aa′=a′a′ a′Aa′=a′ 在对偶空间，有a′A=a′A=a′a′ a′Aa′=a′ ∴a=a，即厄米算符的本征值为实数。

2. 设谐振子的能量本征态波函数为φn(x′)，n为声子数，求

∞

∞

+

*

*

*

∑∫dx′φ(x′)φ(x′′)。

*n

n

n=0

∞

∞

解：∑∫dx′φ(x′)φn(x′′)=∑∫dx′nx′x′′n=∫dx′x′′ ∑nn x′=∫dx′x′′x′

n=0n=0 n=0

*

n

=∫dx′δ(x′′ x′)=1

3. 求对易关系e

[

ax+bp

,x+p，其中a,b为常数。

]

解：根据公式[xi,G(p)]=ih

F G

，[pi,F(x)]= ih，有 pi xi

[e

ax+bp

,x+p=eax+bp,x+eax+bp,p= ih

][][]

ax+bp

e+iheax+bp=ih(a b) p x

4. 若i和j为厄米算符A的不同本征矢，在什么情况下，i+j也是A的本征矢？ 解：（参见第一章第六题）

∵Ai=ii，Aj=jj ∴jAi+j若设Ai+j

()=iji+j，A(i+j)=jji+i +j)，则

()=k(i

高量

jA(i+j)=iA(i+j)=kji+k

∴若ij=0，则有i=j=k，即i与j简并。

5. 对两能态问题，若A的本征态为和2，且H=a+b22+c2+2，试说明c必为实数，并求能量本征矢E1和E2及对应的能量E1和E2。对处于E1的态，测量A后立即测量体系的能量，问所得能量的期待值是多少？ 解：①以A的本征态为基矢，将H写做矩阵形式为

[]

ac H= cb

由于H为厄米算符，即

a*c*

H= c*b* =H

+

∴c=c，即c为实数。 ②解久期方程

*

a Ec

=0

cb E

有E1=

1

a+b+2

12

a+b2+4c2 a+b a+b+4c2 ，E1=

2

代入到Schrödinger方程HEi=EiEi中，设E1=a1+b12E1=a1+b12，有

a1 ac a2 a2 ac a1

和 EE==1 2 cb b

1 b1 cb b2 b2

得到a1=

(a+b)+4c2

E1 a

21/4

，b1=

(a+b)+4c2

E1 b

21/4

a2=

即

(a+b)+4c2

E2 a

2，b2=

(a+b)+4c2

E2 b

2

E1=a1+b12=

(a+b)+4c2

E1 a

21/4

1+

(a+b)+4c2

E1 b

21/4

2

E2=a2+b22=

(a+b)+4c2

E2 a

21/4

(a+b)+4c2

E2 b

21/4

2

高量

③若初态为E1，测量A后将以一定概率塌缩到A的一个本征态或2，再进行能量测量时，得到

H=

E1 a

a+b2

+4c

2

H1+

E1 b

a+b2

+4c=

2

2H2 a2+b2+ab

a+b

2

=

a(E1 a)+b(E1 b)

a+b2+4c2

(a+b)E1 a2 b2=

a+b2+4c2

2a+b+4c2

2

+

6. 若H=ωSz写出含时算符Sx(t)、Sy(t)和Sz(t)的Heisenberg运动方程。若t=0时体系处于Sx+，求t时刻的态矢。 解：ih

S Sx

=[Sx,H]=ω[Sx,Sz]= ihωSy，ihy=Sy,H=ωSy,Sz=ihωSx

t t

[][]

ih

Sz

=[Sz,H]=0 t

∵Sx+=

11++ 22

iHt/h

∴Sx+;t=eSx+=

1 iωt1iωt

e++e 2ψ(x′,t0)满足Schrödinger波动方程，其中传播子7. 证明ψ(x′′,t)=dx′K(x′′,t;x′,t0)

r

∫

rrrr

rrrr

K(x′′,t;x′,t0)=∑x′′a′a′x′e iEa′(t t0)/h

a′

解：ih

rrrrr

(x′′,t)=ih∫ψ(x′,t0)dx′∑x′′a′a′x′e iEa′(t t0)/h

t ta′

rrrr

=∫ψ(x′,t0)dx′∑Ea′x′′a′a′x′ iEa′(t t0)/h

a′

由于a′为能量本征态，即Ha′=Ea′a′ ∴ih

rrrrrr

(x′′,t)=H∫ψ(x′,t0)dx′∑x′′a′a′x′ iEa′(t t0)/h=Hψ(x′′,t) ta′

r

即ψ(x′′,t)满足Schrödinger波动方程。

8. 定义一维谐振子的相干态为淹没算符a的本征态aλ=λ是归一化的相干态。

解：（参见第二章第十八题）

λ，证明λ=e

λ/2λa+

2

e0

高量

∵aλ=ae

(

λ

2

λa+

e0=e

)

λ

2

ae

λa+

0=e

2

λ

2

a∑

n

λn

n!

(a)

+n

0=e

λ

2

a∑

n

λn

n!

n

=e

且

λ

2

∑

n

λn

n!

2

n 1n =λe

λ

λ∑n 1!n n

2

λn 1

=λλ

λλ=0ee

AB

λ*a λ

e

2

λa+

e0=e

λ

eλaeλa0

2

*+

利用公式ee=eee所以

BA

[A,B]

，有

λλ=e

λ

0e

λa+λ*a

ee

λ

2

0=0eλaeλa0=1

+*

λ=e

λ

2

λa+

e0是一个归一化的相干态。

9. 对自旋为1的粒子计算Sz(Sz+h)(Sz h)和Sx(Sx+h)(Sx h)的矩阵元。

解一：（参见第三章第四题）

100

在Sz表象中，有Sz=h 000 ，根据对易关系[Si,Sj]=ihεijkSk，有

00 1

010 0 i0

，SiiSx=101=0 y

2 2 0100 0i

0 100 200 00 3

Sz(Sz+h)(Sz h)=h 000 010 0 10 =0

00 1 000 00 2 010 110 110

3

1011111 11Sx(Sx+h)(Sx h)= =0 22

010 011 01 1

解二：对Sz，我们有

Sz+=h+ (Sz h)+=0

Sz = h (Sz+h) =0 S0=00 S0=0

z z

于是Sz(Sz+h)(Sz h)=Sz(Sz+h)(Sz h)

i=1,0, 1

∑i

=Sz(Sz+h)(Sz h)++1+Sz(Sz h)(Sz+h) 1+(Sz h)(Sz+h)Sz00 =0

同理，对于Sx，我们有

高量

SxSx,+=hSx,+ (Sx h)Sx,+=0

SxSx, = hSx, (Sx+h)Sx, =0 SS,0=0S,0 SS,0=0

xxx xx

于是Sx(Sx+h)(Sx h)=Sx(Sx+h)(Sx h)

i=1,0, 1

∑S,i

x

Sx,i

=Sx(Sx+h)(Sx h)Sx,+Sx,+1

+Sx(Sx h)(Sx+h)Sx, 1Sx, 1+(Sx h)(Sx+h)SxSx,0Sx,0 =0

10. 分别记角动量为1/2和1的体系的角动量算符为Si和Ji，其中i=x, y ,z。求[Sx,Sy]和

[Jx,Jy]。

解：对于角动量为1/2的体系，有

Sx=

(+ + +)，Sy=( + + +) 22

[Sx,Sy]=SxSy SySx

=

(+ + +)( + + +) ( + + +)(+ + +) 2222

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