教案：一元二次方程的解法1(直接开平方法)

一元二次方程及其解法（直接开平方法）

一、教学目标：

1、知识目标：经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

2、能力目标：了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；会用直接开平方法法解一元二次方程。

3、情感目标：体会转化的思想方法。

二、教学重点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会用直接开平方法法解一元二次方程 三、教学难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程。

四、教学类型：新授。

五、教学过程：

一、 做一做：

1．问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900

整理可得 x2＋10x－900=0. （1）

2．问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x）2=7.2,

整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2）

3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）

共同特点：（1） 都是整式方程

（2） 只含有一个未知数

（3） 未知数的最高次数是2 复备区

二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.2ax通常可写成如下的一般形式：ax＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中叫做二次项，a叫做二2

次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。.

三、 例题讲解与练习巩固

1．例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

23x 2 5x 3x 4 （1） （2）

x 2 1 x222x 4 (x 2)x 1（3） （4）

2．例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

226y y(x 3)(3x 4) (x 2)1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）

说明：一元二次方程的一般形式ax bx c 0（a≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3： 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

4．例4：已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．练习：

1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2x 2 3x 2x(x-1)=3(x-5)-4

22 2y 1 y 1 y 3 y 2

2(m 3)x nx m 0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方x2、关于的方程22

程？

3、课本第81页练习

四、思考：如何解方程x 2 0呢？

分析：由平方根的定义可知x 2即此一元二次方程两个根为x1 222,x2 2。我们把这种解一元二

次方程的方法叫直接开平方法。

说明：形如方程x k 0(k 0)可变形为x2 k(k 0) 的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程。方程的两根分别用x1,x2表示。

思考：形如 x h k(k 0)的方程的解法。 22

说明：（1）解形如 x h k(k 0)的方程时，可把 x h 看成整体，然后直开平方程。 2

（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，

（3）如果变形后形如 x h k中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。2

（4）如果变形后形如 x h k中的k=0这时可得方程两根x1,x2相等。 2

五、例题讲解：

例5、解下列方程 ：

2 （1）x 4 0

（2）4x 1 02

分析：用直接开平方法求解

变式1：解方程12x 3 0 4

例6：解下列方程

（1）（x＋1）2－4＝0；

（2）12（2－x）2－9＝0.

2(x 1)x b（b≥0）型的方法去解决，这里体现了说明：（1）中只要把看作一个整体，就可以转化为

整体思想。

练习：练习一 解下列方程：

（1）x2＝169；

（2）45－x2＝0；

（3）12y2－25＝0；

（4）4x2+16＝0

练习二 解下列方程：

（1）（x＋2）2－16＝0

（2）(x－1)2－18＝0；

（3）(1－3x)2＝1；

（4）(2x＋3)2－25＝0

本课小结：