2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案(2)

g(x1) 2g(x2) 2g(x2) 235f(x1) f(x2)，而f(x)在[,]上是减函数，所以44x1x1x2

5454515f(x) f() ，即f(x)在[,]上的最小值是。 45544

12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的

16个小方格内，每个小

C42A42=72种，同样，使2个b

既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法

共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。所以，符合题设条件的填法共有722 72 16×72=3960种。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1，求证：当正整数n≥2时，an+1<an。 k 1k(n 1 k)

11112n1 ( )，因此an 证明：由于 ，于是，对任意的正n 1k 1kk(n 1 k)n 1kn 1 k

11n11n 11整数n≥2，有(an an 1) 2n 1k 1kn 2k 1k

nn111111 ( ) ( 1) 0，即an+1<an。 n 1n 2k 1k(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)k 1k114. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：y x (x

0)交于两个不同点M和N。求曲线Cx13. 设an

在点M、N处切线的交点轨迹。

n

解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。 1 1 y x 2由方程组 x，消去y，得x kx 1，即(k 1)x+x 1=0。由题意知，该方程在(0，x y kx 1

1+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k 1)>0…(1)，x1 x2 0…(2)，1 k

1311x1x2 0…(3)，由此解得 k 1。对y x 求导，得y' 1 2，则41 kxx

111y'|x x1 1 2，y'|x x2 1 2，于是直线l1的方程为y y1 (1 2)(x x1)，即x1x2x1

1112y (x1 ) (1 2)(x x1)，化简后得到直线l1的方程为y (1 2)x …(4)。同x1x1x1x1

121122理可求得直线l2的方程为y (1 2)x …(5)。(4) (5)得(2 2)xp 0，x2x2x2x1x1x2

2x1x2因为x1≠x2，故有xp …(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得x1 x2

111111x1 x22yp (2 (2 2))xp 2( )…(7)，其中 1，x1x2x1x2x1x2x1x2

211x12 x2(x1 x2)2 2x1x2x1 x222 () 1 2(1 k) 2k 1，代入(7)222222x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2

35式得2yp=(3 2k)xp+2，而xp=2，得yp=4 2k。又由 k 1得2 yp ，即点P的轨迹为42

(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。

15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，

4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

f(x) f( x)f(x) f( x)，h(x) ，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函22

g(x) g(x π)数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令f1(x) ，2

π g(x) g(x π)x kπ h(x) h(x π) x kπ2cosx2f3(x) ，，f2(x) 2sinxπ 0x kπ0x kπ 2

kπ h(x) h(x π)x 2sin2x2，其中k为任意整数。 f4(x) kπ 0x 2 证明：记g(x) 容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当x kπ

因为f1(x) f2(x)cosx f1(x)

ππ时，显然成立；当x kπ 时，22g(x) g(x π)，而 2

g(x π) g(kπ 3π3πππ) g(kπ 2(k 1)π) g( kπ ) g(kπ ) g(x)，故对2222

kπ时，显然成立；当x=kπ时，2任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。 下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当x

h(x)=h(kπ)=h(kπ 2kπ)=h( kπ)= h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当x kπ π时， 2

h(x π) h(kπ 3π3πππ) h(kπ 2(k 1)π) h( kπ ) h(kπ ) h(x)，故2222

h(x) h(x π)f3(x)sinx h(x)，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2

于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。