2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷

（考试时间：上午8：00—9：40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 如图，在正四棱锥P ABCD中，∠APC=60°，则二面角A PB C

的平面角的余弦值为（ ） A. 2. 设实数a使得不等式|2x a|+|3x 2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满

足条件的a所组成的集合是（ ） A. [ ,] 1 7B. 1 7C. 1 2D. 1 2

11

33B. [ 11,] 22C. [ 11,] 43D. [ 3，3]

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a 2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 52 81B. 59 81C. 60 81D. 61 81

4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x c)=1对任意实数x恒成立，bcosc的值等于（ ） a

11A. B. 22则C. 1 D. 1

5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）

6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且

为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ）

A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A( 3，0)，B(1， 1)，C(0，3)，D( 1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。

8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，

CA 33，若AB AE AC AF 2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。

9. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则3

球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，

22a12 a2 a3b1=d，且是正整数，则q等于________。 b1 b2 b3

sin(πx) cos(πx) 215( x )，则f(x)的最小值11. 已知函数f(x) 44x2为________。

12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小

方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法

共有________种（用数字作答）。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1，求证：当正整数n≥2时，an+1<an。 k 1k(n 1 k)

114. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：y x (x 0)交于两个不同点M和N。求曲线Cx13. 设an

在点M、N处切线的交点轨迹。

15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，

4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

n

2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 如图，在正四棱锥P ABCD中，∠APC=60°，则二面角A PB C

的平面角的余弦值为（ B ） A. 1 7B. 1 7C. 1 2D. 1 2解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A PB C的平面角。不妨设AB=2，则PA AC 22，斜高为7，故2 7 AM 22，由此得

7AM2 CM2 AC21CM AM 。。在△AMC中，由余弦定理得cos AMC 22 AM CM7

2. 设实数a使得不等式|2x a|+|3x 2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ A ） 1111,] C. [ ,] D. [ 3，3] 2243

12解：令x a，则有|a| ，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。 33

3412一般地，对k∈R，令x ka，则原不等式为|a| |k 1| |a| |k | |a|，由此易223

34知原不等式等价于|a| |k 1| |k |，对任意的k∈R成立。由于 23

4 5k 3k 23 34 14|k 1| |k | 1 k1 k ， 23 23

3 5kk 1 2

3411所以min{|k 1| |k |} ，从而上述不等式等价于|a| 。 k R3233A. [ ,] B. [

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a 2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A. 1133

解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不

52 81B. 59 81C. 60 81D. 61 81

等式a 2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为45 7 5 3 161 。 8181

4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x c)=1对任意实数x恒成立，bcosc的值等于（ C ） a

11A. B. 22则C. 1 D. 1

解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x c)=2，于是取a b

∈R，af(x)+bf(x c)=1，由此得1，c=π，则对任意的x2bcosc 1。 a

一般地，由题设可得f(x) sin(x ) 1，f(x c) sin(x c) 1，其中

π20 且tan ，于是af(x)+bf(x c)=1可化为 23

asin(x ) bsin(x c) a b 1，即

asin(x ) bsin(x )cosc bsinccos(x ) (a b 1) 0，所以 (a bcosc)sin(x ) bsinccos(x ) (a b 1) 0。

a bcosc 0(1) (2)， 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有 bsinc 0

a b 1 0(3)

若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc= 1。由

(1)、(3)知a b bcosc

1，所以 1。 2a

5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ A ）

解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为

O1、O2，且离心率分别是2c2c和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹r1 r2|r1 r2|

的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1 r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。

6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ B ）

A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，

则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下：

将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属 …… 此处隐藏：3655字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……