2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则

2010年全国高中数学联赛江苏赛区

一、填空题（本题满分70分，每小题7分）

xx1．方程9 3 5的实数解为 ．

2．函数y sinx cosx(x R)的单调减区间是 .

3．在△ABC中，已知AB AC 4，AB BC 12，则AB＝ .

4．函数f x x 2 x 1 在区间 0,2 上的最大值是 ，最小值是 ．

5．在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，

其中A 4,0 、B 6,8 、C 2,4 ，则R的取值范围为 ．

2

6．设函数f x 的定义域为R，若f x 1 与f x 1 都是关于x的奇函数，则函数

y f x 在区间 0,100 上至少有 个零点.

7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为 ．

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．

9．在三棱锥A BCD中，已知 ACB CBD， ACD ADC BCD BDC （第7题）

，且cos

．已知棱AB

的长为 ． 10．设复数列 xn 满足xn a 1，0，且xn 1

则a的值是 ．

axn．若对任意n N* 都有xn 3 xn， xn 1

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）

x2

y2 1上的三点．若 11．直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆C:4

3 4 x2

OM OA OB，证明：线段AB的中点在椭圆 2y2 1上． 552

2．已知整数列 an 满足a3 1，a7 4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次

成等比数列．

(1) 求数列 an 的通项公式；

(2) 求出所有的正整数m，使得am am 1 am 2 amam 1am 2．

13．如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE AD，垂足H.

过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．

证明： (1) 点A、B、F、H共圆；

(2) 四边形BFCG是矩形．

14．求所有正整数x，y，使得x2 3y与y2 3x都是完全平方数．