【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第21

第21课 弧度制与任意角的三角函数

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1.(必修4P15练习6改编)若sin α<0，cos α<0，则 α是第 象限角. 【答案】三

【解析】由sin α<0，cos α<0，知对应的角α是第三象限角.

2.(必修4P10习题10改编)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 .

π

【答案】-3

【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为

11π圆周的6，即为-6³2π=-3.

43 -

3.(必修4P14例1改编)已知角α的终边与单位圆交于点 55 ，那么tan α= .

3

【答案】-4

3y3-【解析】根据三角函数的定义，知tan α=x=5=-4.

50π

4.(必修4P10习题8改编)已知某扇形的半径为10，面积为3，那么该扇形的圆心角

为 .

π

【答案】3

1150ππ

22

【解析】由S=2αr=2α²10=3，得α=3.

5.(必修4P14例1改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边

上一点，且sin θ

=-，则y= .

【答案】-8

【解析】由正弦值为负数，且横坐标为正，可知该角为第四象限角，则sin θ

=-

5

y=-8.

1.角的概念的推广

(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角. (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.

(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k²360°+α，k∈Z}.

2.角的度量

(1)1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.

π180

(2)弧度制与角度制的关系：1°=180弧度(用分数表示)，1弧度=π度(用分数表示).

(3)弧长公式：l=|α|r.

11

2

(4)扇形面积公式：S=2rl=2|α|r.

3.任意角的三角函数的定义

设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为

yxy

r(

，则sin α=r，cos α=r，tan α=x.

4.三角函数的定义域

在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R、R、

π | kπ，k Z

2 .

5.三角函数的符号规律

第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”.简称：一全、二正、三切、四余

.

6.三角函数线

如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP叫作角α的正弦线，有向线段OM叫作角α的余弦线；过点A(1，0)作单位圆的切线，交角α的终边或其反向延长线于点T，则有向线段AT叫作角α的正切线.

【要点导学】

要点导学 各个击破

象限角的表示

例1 (1)若角θ的终边与120°角的终边重合，则2是第几象限角?

(2)若角θ是第三象限角，判定2θ，2是第几象限角.

【解答】(1)θ=120°+k²360°，k∈Z，所以2=60°+k²180°，k∈Z.若k为偶数，则

2是第一象限角，若k为奇数，则2是第三象限角.综上，2是第一或第三象限角.

(2)因为180°+k²360°<θ<270°+k²360°，k∈Z，所以

360°+2k²360°<2θ<540°+2k²360°，k∈Z，所以2θ是第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上的角.

90°+k²180°<2<135°+k²180°，k∈Z.若k为偶数，则2是第二象限角，若k为奇

数，则2是第四象限角.所以2是第二或第四象限角.

变式 (1)终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在x轴上呢? (2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?

π

(3)已知α=6，角β的终边与α的终边关于直线y=x对称，求角β的集合.

【解答】(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合是{β|β=k²360°，k∈Z}，终边落在x轴上的角的集合是{β|β=k²180°，k∈Z}.

(2){β|β=k²90°，k∈Z}.

π

2kπ ，k Z

3 . (3)

例2 已知α=30°，β=60°，γ=300°，OA，OB，OC分别是角α，β，γ的终边. (1)分别写出两图中阴影部分(含边界)的所有角的集合； (2)写出图(2)中阴影部分在[0°，360°]上的所有角的集合

.

图(1) 图(2)

(例2)

【思维引导】(1)选择两条射线分别作为边界，一般按照逆时针方向确定范围；(2)一般用连续的范围表示区域角，若不能，也可以分段表示.

【解答】(1)图(1)中OA可看作α的终边，OB可看作β的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ1|k²180°+30°≤θ1≤k²180°+60°，k∈Z}.

图(2)中OC可看作-60°的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ2|k²360°-60°≤θ2≤k²360°+30°，k∈Z}.

(2)[0°，360°]上所有角的集合为{θ|0°≤θ≤30°或300°≤θ≤360°}. 【精要点评】区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一.表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况，同时有的学生容易忽视前提，写成[-60°，30°].

变式 用弧度表示顶点在原点、始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)

.

图(1) 图(2)

(变式)

5π11π3π5π

【解答】75°=12，330°=6，135°=4，225°=4.

π5π

2kπ- 2k ，k Z

612 ， 故图(1)为

3π3π

2kπ- 2kπ ，k Z

44 . 图(2)为

任意角的三角函数的定义

y

例3 已知角α的终边经过点P(4， y)(y≠0)，且sin α=5，求cos α和tan α的值.

【思维引导】由任意角的三角函数的定义，在直线上任取一点P，先求得r，进而求出各个三角函数值.

【解答】因为点P(4，y)(y≠0)， 所以原点到点P的距离

yy

又因为sin α=5，所以sin α

=5，

因为y≠0，所以y=±3，所以r=5.

43当y=3时，cos α=5，tan α=4； 43

当y=-3时，cos α=5，tan α=-4.

【精要点评】三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量进行讨论.

1

变式 已知角α的终边经过点P(x，

x≠0)，且cos α

=x，求sin α+tan

的值.

【解答】因为P(x，

x≠0)，

所以点P到原点的距离

=x. 又因为cos α

=x，所以cos α

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