线性代数与解析几何 第三章几何向量

《线性代数与空间解析几何》 线性代数与空间解析几何》 第三章

王宝玲哈工大数学系代数与几何教研室

2007.9

本章主要内容 几何向量的线性运算 数量积、向量积、 数量积、向量积、混合积几何向量的坐标， 几何向量的坐标，用坐标表 示几何向量的运算

空间中的平面与直线2

引言数学发展到变量数学时期,是以笛卡尔 数学发展到变量数学时期,是以笛卡尔 (1596年 31日生于法国 (1596年3月31日生于法国)解析几何的建 日生于法国) 立为起点的. 立为起点的. 解析几何是利用代数方法来研究几何图 形性质的一门学科. 形性质的一门学科. 解析几何为微积分的出现创造了条件. 解析几何为微积分的出现创造了条件. 几何向量是研究空间解析几何的工具 是研究空间解析几何的工具； 几何向量是研究空间解析几何的工具； 也是研究数学中其它一些分支、力学及 也是研究数学中其它一些分支、 其它学科的工具. 其它学科的工具.3

定义 有大小又有方向的量称为(几何)向量， 有大小又有方向的量称为(几何)向量， uuur r 记为： 记为：AB, a,a, α, β, γ, …. uuur r r 长度、大小) 模: (长度、大小) AB , a B 几何表示: 几何表示:用有向线段aA

3.1 向量及其线性运算 3.1.1 向量的基本概念

代数表示: 代数表示: 用坐标 (x,y,z) a = b 把起点平移在一起,则完全重合. 把起点平移在一起,则完全重合. 方向相同 大小相等. 相同, 方向相同,大小相等. 自由向量:与起点无关的向量. 自由向量:与起点无关的向量.4

几种特殊的向量负向量: 的负向量与a 负向量: a 的负向量与 大小相等方向相 反 r ,记为 -a . 零向量: 记为0 零向量: a = 0 ,记为0. 零向量的方向任意或不确定. 零向量的方向任意或不确定. r 单位向量: 单位向量: a = 1 同向或反向的向量. 两向量共线: 两向量共线: a ∥b 同向或反向的向量 两向量共面:平行与同一平面的向量. 两向量共面:平行与同一平面的向量. 任意两向量都共面. 任意两向量都共面.5

一、 向量的加法

3.1.2

向量的线性运算

分析一下物理中的两种有方向的量: 分析一下物理中的两种有方向的量: 力的合成,可以引入向量加法的概念. 力的合成,可以引入向量加法的概念. 加法： 加法：c = a+b 1.平行四边形法则 2.三角形法则 1.平行四边形法则 2.三角形法则a+b b a a+b a b

首尾相连, 首尾相连,a起点 指向b终点 指向 终点6

3.多边形法则： 个向量之和 3.多边形法则：n个向量之和 只要把它们 个向量之和,只要把它们 多边形法则 相继地首尾连接后， 相继地首尾连接后，从第一个向量的起点 到最后一个向量的终点的向量,即为和向量 即为和向量. 到最后一个向量的终点的向

量 即为和向量 如 e=a+b+c+d c d e a b7

4.向量加法运算的性质 4.向量加法运算的性质 (1) 交换律: a + b = b+ a 交换律: (2) 结合律: (a + b) + c = a +(b+ c) 结合律: (3 零向量: a +0 = 0 + a = a (3) 零向量: (4) 反向量: a +(-a) = (-a)+a = 0 反向量: 5.向量的减法: a - b = a +(-b) 向量的减法: a-b a8

两起点置一处, 两起点置一处, b终点指向a终点

二.向量的数乘

k > 0, 同向 方向 k < 0, 反向 数乘: 1. 数乘: ka k = 0, 不定 ka ∥a 长度 ka = k a 规定: 规定 若a = 0, k, ka = 0 , 若k = 0, a, ka = 0 ,

2. 数乘运算的性质: 数乘运算的性质: (1) 1a = a, (-1)a =-a (2) k(la)=(kl) a (3) (k+l)a= ka+la (4) k(a+b)=ka + kb

a ,为与a同向 3.单位向量 单位向量: 3.单位向量: a≠0 ,a = |a| 的单位向量. 的单位向量. 0 a= aa0

4.平行 4.平行:(共线) 平行:

a // b b = λa(a ≠ 0), 0// a都没有意义. 都没有意义.

注 (1) )

1 b 与 a a

无意义. (2) a< b无意义. )(3) a + b ≤ a + b . )10

5.两个向量 共线 5.两个向量a,b共线 存在不全为零的数 (平行)k,l 使ka + l b = 0. 平行) 证

a, b 共线 存在 k 使得 a = kb或b = ka, ka + l b = 0. ka + l b = 0, k, l 不全为零 如果k lk 共线; 如果k ≠0 a = (-l/k)b a, b共线; 如果l kl 共线. 如果l ≠0 b = (-k/l)a a, b共线.11

6.三个向量 6.三个向量 1,a2, a3共面 是存在不全为零 三个向量a 共面 的数k 的数 1, k2, k3使 证明思路 必要性: 必要性: 分两种情况 (1)其中有平行向量 (1)其中有平行向量 (2)其中两两不平行 (2)其中两两不平行

k1a1 +k2a2 +k3a3 = 0a3 a1

充分性: 不仿设k 不为零, 充分性: 不仿设 1不为零, 则有

a2

a1= (-k2/k1)a2 +(-k3/k1)a3

uuu r uuu v 例1 平行四边形 平行四边形ABCD(如图),AB = a, AD = b (如图) uuuu uuuu uuuu r r r 试用a、b 表示 MA, MB, MC 和MD . 解 因为平行四边形的对角线互相平分 uuu v uuuu v C 所以 a +b = AC = 2M D CA a uuuv u uuuu v 1 M = M = (a +b) A C 2 uuu v uuuu uuuu 1 v v a b = DB = 2M , M = (a b) B B 2 uuuu v uuuu v 1 1 M = M = (a b) = (b a) D B 2 2

uuuu 1 v M = (a +b) C 2

b

M

B

3.2 向量的数量积,向量积和混合积 向量的数量积,3.2.1 向量在轴上的投影 前面讨论的向量及运算只是在几何 作图， 作图，而这节的目的是用投影法得到向 量的坐标，即将向量与数对应起来， 量的坐标，即将向量与数对应起来，把 向量的代数运算转化为数量(坐标) 向量的代数运算转化为数量(坐标)的 代数运算， 代数运算，实际上是对向量及运算进行 定量的描述. 定量的描述14

1.向量的夹角： 1.向量的夹角： a , 向量的夹角

b ≤ π

b a

注：零向量与任一向量的夹角可以在0 零向量与任一向量的夹角可以

在 取值. 到 π 间任意 取值 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 的夹角. 间不超过 π 的夹角 2.点在 轴上的投影： 点在u轴上的投影 为空间中一点, 2.点在 轴上的投影：若A为空间中一点 为空间中一点

u 为一轴，过 A点作垂直于 u 轴的平 为一轴， 点作垂直于 ′ 面π ⊥ u 则π与轴 u , 的交点 A A,在 为 在上的投影. 轴 上的投影15

uuuu v 则轴 u上的有向线段 A′B′ 的值为 A′B(数量 ′ 同向为正数， 向为负数) A′B′ 与u 同向为正数， ′B′ 与 u 反向为负数), A 上的投影， A′B′ 称为向量 AB 在轴 u 上的投影，记作

向量在u轴上投影: 轴上投影 3.向量在 轴上投影: 投 投 设有向量 AB ,A → A′(u1 ), B → B′(u2 ) 轴u 轴u

Prju AB = A ′B ′ = u2-u1

A A’ u1

B

B’ u u2 投影轴16

4.公式 公式:

uuu uuu v v uuu v Prju AB = AB cos u, AB

A A’ u1

B B’'

u′

B’ u u2 投影轴

Prju (a + b) = Prju a + Prju b

AA’

a

B b C B’ u2 u3C’

u1

u17

3.2.2 几何向量的数量积(数) 几何向量的数量积( 数量积 向量的线性运算 向量的线性运算可以用来解决一些几 线性运算可以用来解决一些几 何问题. 何问题. 要利用向量解决更复杂的几何问题, 要利用向量解决更复杂的几何问题, 需要引入向量的其它运算, 需要引入向量的其它运算, 这其中最 重要的就是数量积 向量积. 数量积和 重要的就是数量积和向量积. 向量的加法是从物理中力的合力 合力抽象 向量的加法是从物理中力的合力抽象 出来的. 出来的.向量的数量积也可以从物理中 …… 此处隐藏：2588字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……