人教版高中数学必修二直线的倾斜角和斜率

3.1.1《直线的倾斜角与斜率》

教 学 目 标

知识与技能1.理解直线倾斜角和斜率的概念； 2.掌握过两点的直线的斜率公式及应用.

过程与方法1.培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；

2.使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法.

情感、态度与价值观1.通过对直线倾斜角及斜率的学习，体会用代数方法刻画直线 斜率的过程；

2.通过坐标法的引入，培养学生联系、对应转化等辩证思维.

教学目标 教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率 的公式及其应用。 教学难点：斜率意义的理解。

问题引入我们知道，两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗？y

lO P

x

问题引入过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢？ yl O

P

x

问题引入容易看出，它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢？y l O

P

x

直线的倾斜角定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为

基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角α 叫做直线 l 的倾斜角y o

p

lx

y p o

l

y

yp

x

o

x

p

o

l x

l

规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 直线的倾斜角 的取值范围为： 0 180 .

直线的倾斜角平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角， 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角， 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l l 已知直线上的一个点不能 l 确定一条直线的位置；同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是，直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.

确定直线的要素确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可.y

lO P x

问题引入日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

升高量 坡度(比) 前进量

升 高 量 前进量

问题引入例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更

3 3 陡一些，因为坡度(比) . 2 2

升 高

升高量 坡度(比) 前进量

前进

直线的斜率如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 的正切值叫做这 条直线的斜率.通常用小写字母k表示，即

k tan

( 90 )

那么任何一条直线都有斜率吗？ 90 倾斜角是 的直线的斜率不存在.

直线的斜率如：倾斜角 45 时，直线的斜率 k tan 45 1.

tan(180 ) tan . 当 为锐角

时， 如：倾斜角为 135 时，由

k tan 135 tan 45 1 即这条直线的斜率为 1.

直线的斜率的取值范围 倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 0 倾斜角为0 时,k=0.倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角 不同，直线的斜率也不同.因此，可以用斜率表 示直线的倾斜程度

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

两点的斜率公式设直线P1 P2的倾斜角为α ( α ≠90° ),当直线P1 P2的 方向(即从P1指向P2的方向) 向上时，过点P1作 x 轴的平行 线，过点P2作 y 轴的平行线， 两线相交于点 Q,于是点Q的 坐标为( x2,y1 ).

当 为锐角时， QP 1P 2 , x1 x2 , y1 y2 . 在直角 P1 P2Q 中

| QP2 | y2 y1 tan tan QP1 P2 | P1Q | x2 x1

两点的斜率公式

180 QP1 P2 , x1 x2 , 当 为钝角时， y1 y2 . tan tan(180 ) tan

在直角 P1 P2Q 中

| QP2 | y2 y1 y2 y1 tan | P1Q | x1 x2 x2 x1

y2 y1 tan . x2 x1

两点的斜率公式

同样，当 P2 P1 的方向向上时，也有

y2 y1 tan . x2 x1

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB 斜率时，与 P 两点坐标的顺 1, P 2 序有关吗？

无关

2.当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜 率公式还适用吗？为什么？

不适用