ch8_4隐函数的偏导数

多元复合函数求偏导数的链导法则

z f (u, v, w), u u ( x, y ), v v( x, t ), w w ( x, y, t ) z f u f v f w x u x v x w x z f u f w y u y w y z f v f w t v t w t

z

u v w x y u

x y t

z f ( x, y, u ), u u ( x, y ), y y ( x)dz f x f y y f u (u u y y ) x dx

z

x y

x

例10.设 u f ( x, y ),在变换 x r cos , y r sin 下，证明: ( u ) 2 12 ( u ) 2 ( u ) 2 ( u ) 2 ( P78.例7) r r x y

证: du f x d x f y dy f x d (r cos ) f y d(r sin ) f x (cos d r r sin d ) f y (sin d r r cos d )

( f x cos f y sin )d r r ( f x sin f y cos )d u 2 1 u 2 ) 2 ( f y ) 2 ( ) 2( ) ( fx r r ( f x cos f y sin ) 2 12 r 2 ( f x sin f y cos ) 2 r u 2 1 u 2 u 2 u 2即: ( ) 2 ( ) ( ) ( ) r r x y

例11.取 x作为函数，而 y, z作为自变量， x x dy dz解: x x ( y, z ), d x z y 1 x d y ) z d x z d y z z (x, y),解出: d z (d x x y x y z x x 1 z x 1 z ( )代入原方程,有 ( ), y y z z x z z变换方程: ( x z ) y 0 ( P131.综合题7) x y

x x z x x 1[ x z y ( )]( ) 0即: ( y 0) y y y y

作业 P91. 8-3 13; 14.提示: 13. z z ( x, y ) z z (u, v), z z y 2 2 dz d (ln x y ) d (arctan ) x v u z z ,代入方程 ( )d x ( )d y x y x x (u, v), d x x d ( y z ) x d ( y z ) 14. u v z z, dz ( )d x ( )d y 代入方程 x y

§4

隐函数的偏导数

§4.1§4.2

一个方程所确定的隐函数的偏导数方程组所确定的隐函数组的偏导数

§4.1隐函数的偏导数设z f (x, y)是方程 F (x, y, z) 0所确定的隐函数,则

F[ x, y, f ( x, y )] 0Fx z x Fz Fy z y Fz

两边对 x求偏导 z 0 Fx Fz x在(x, y, z)的某邻域内 Fz 0 z同理, Fy Fz 0 y

隐函数存在性及其偏导数定理 .若函数 F ( x, y, z )满足:①在点 P( x0, y0, z0 )的某邻域内具有连续偏导数,② F ( x0, y0, z0 ) 0③ Fz ( x0, y0, z0 ) 0则方程 F ( x, y, z ) 0在点 ( x0, y0 )某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数 z= f (x, y),满足 z0 f (x0, y0 ), Fy Fx z z并有连续偏

导数,且 , x Fz Fz yFx dy特别, F (x, y) 0确定隐函数y f (x),则 dx Fy

z例1.设 x y z 4 z 0,求 2 . x解法1对隐函数方程对x求偏导数,设z z (x, y), z x z z 2x 2z 4 0 x x x 2 z上式两边再对x求偏导数,有 2 z 2 2z 2 2( ) 2 z z 4 2 0 x x x2 z 2 2 1 ( x ) 2 (2 z ) 2 x 2 1 ( ) z 2 z x 2 2 z x 2 z (2 z )32 2 22

z例1.设 x y z 4 z 0,求 2 . x解法2利用公式求一阶偏导数,设 F (x, y, z) x 2 y 2 z 2 4 z则 Fx 2x, Fz 2 z 422 2 2

x 2x Fx z 2z 4 2 z x Fz 上式两边再对 x求偏导数,有

( z z (x, y))

z (2 z ) x 2z x (2 z ) 2 x 2 x ) ( 2 x 2 z (2 z ) 2 x (2 z )3

例2.设方程 F ( x y z, x 2 y 2 z 2 ) 0确定

y y ( x, z ),求 y, y . x z

解1:对隐函数方程对x求偏导数， y y ( x, z ), y y F1 (1 ) F2 (2 x 2 y ) 0 x x F1 2 x F2 y , F1 2 y F2 x y F1 2 z F2 ,由x, z的轮换对称性,得 z F1 2 y F2

例2.设方程 F ( x y z, x 2 y 2 z 2 ) 0确定 y y ( x, z ),求 y, y . x z解2:对隐函数方程求微分， F1 d ( x y z ) F2 d ( x 2 y 2 z 2 ) 0 F1 (d x dy dz ) F2 (2 x d x 2 y dy 2 z dz ) 0 ( F1 2 yF2 )dy ( F1 2 x)d x ( F1 2 z F2 ) dzF1 2 x F2 F1 2 z F2 dx dz解得 dy F1 2 y F2 F1 2 y F2 y F1 2 x F2 y F1 2 z F2 , , x F1 2 y F2 z F1 2 y F2

x y例3.设方程 F (, ) 0,求 dz . z z解：对方程两边求微分: x y F1 d( ) F2 d( ) 0 z z zd y y d z z d x xd z ) 0 ) F2 ( F1 ( 2 2 z z xF1 y F2 F1 d x F2 d y dz 2 z z z dz (F1 d x F2 d y) x F1 y F2

例4.设 z f ( x y, y z ),求 z, z . x y解:对方程求微分，d z f1 (d x d y ) f 2 ( zdy y d z )

(1 y f 2 )d z f1 d x ( z f 2 f1 )dy f1 z f 2 f1 dz dx d y, 1 y f 2 1 y f 2 z f1 , x 1 y f 2 z z f 2 f1 , y 1 y f 2

例5.设函数F ( x, y, z ) 0,其中F具有连续偏导数, x y z证明: 1. (P100.6) y z x证: x x( y, z ), y y ( x, z ), z z ( x, y ), Fy x Fx Fz y z , , , y Fx z Fy

x Fz Fy x y z Fx Fz ( ) ( ) ( ) 1 y z x Fx Fz Fy 此例表明:多元函数没有“微商”的概念！

§4.2隐函数组的偏导数 u u ( x, y ) F ( x, y, u, v ) 0设方程组 确定隐函数组 v v ( x, y ), G ( x, y, u, v) 0 F[ x, y, u ( x, y ), v ( x, y )] 0求 u, u, v, v .则 x y x y G[ x, y, u ( x, y ), v ( x, y )] 0 两边对 x求偏导数，得 u v v u Fv Fu Fx Fx Fu Fv 0即 x x x x u u v v Gx Gu Gv 0 Gu x Gv x Gx x x

二元线性方程组求解公式 a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2c1 b1 c 2 b2 a1 a2 b1 b2 a1 c1 a2 c2

x

y

a1 a2

b1 b2

u u ( x, y ) F ( x, y, u, v ) 0,确定隐函数组 设方程组 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 v u Fu Fx Fv x x

u v Gu x Gv x Gx

1 ( F, G ) u J ( x, v ) x 1 ( F, G ) v J ( u, x ) x

( F, G) J 称为F,G的雅可比( Jacobi )行列式. J 0, (u, v)Fu Fv ( F, G ) Fx Fv ( F, G ) Fu Fx ( F, G) 令 Gv ( x, v) Gu (u, v) Gx Gv (u, x) Gu Gx

隐函数组存在性及其偏导数定理 .若函数 F ( x, y, u, v), G ( x, y, u, v)满足在点

P( x, y, u, v)的某邻域内具有连续偏导数,且 F ( x, y, u, v ) 0 ( F, G) 0,则方程组 JP (u, v ) P G ( x, y, u, v) 0在点(x, y)某一邻域内可唯一确定一组单值连续函数 u u ( x, y ), v v ( x, y ),并有连续偏导数，且1 ( F, G ) u J ( x, v ) x 1 ( F, G) v J ( u, x ) x u 1 ( F, G ) J ( y, v ) y v 1 ( F, G ) J ( u, y ) y

x u y v 0, u v, .例6. 求 x x y u x v 1解:方程组两边对 x求偏导, u u ( x, y ), v v ( x, y ), u v x y v u x y u J 0 u x y y x x x x x u v u v x2 y2 y v x 0 y x v x x x x 0 x u yv u 1 u y则有 2 v x x y2 x J

xv y u v 1 x u 2 x J y v x y2