考研线性代数复习-行列式(2014)

考研线性代数复习

2013年暑期考研强化班讲义

线性代数许永平主讲

考研线性代数复习

第一章行列式内容：行列式的概念和基本性质,行列式按行(列)展开定理要求：1)了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2)会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。

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一、行列式的概念与性质 1.排列由n个数1,2,…,n组成的一个数组

i1i2 in称为一个n元(级)排列。注：n元排列共有n!个。例如 2134是一个4元排列 654312是一个6元排列 2.逆序和逆序数

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定义

在一个排列 i1 it is in中，如果 it> is

则称数 it与is构成一个逆序，一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记作τ ( i1i2 in ) .例如

τ (51324)= 4+ 0+ 1+ 0= 5

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3.行列式的定义按“排列的逆序数”定义行列式

a11 a1n = an1 ann==

j1 j2 jn

∑

( 1)τ ( j1 j2 jn )a1 j1 a2 j2 anjn

i1i2 in

∑

( 1)τ ( i1i2 in )ai1 1ai2 2 ainn

τ ( j1 j2 jn )+τ ( i1i2 in ) ( 1) ai1 j1 ai2 j2 ain jn∑

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如

a11 a21

a12= a22

τ ( j1 j2 ) ( 1) a1 j1 a2 j2∑j1 j2

= ( 1)τ (12) a11a22+ ( 1)τ (21) a12a21= ( 1)0 a11a22+ ( 1)1 a12a21= a11a22 a12a21

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例已知四阶行列式中 a3 j a12a41a2 k的符号为负，求

k, j.分析 k, j只能取3和4,而 a3 j a12a41a2 k= a12a2 k a3 j a41

j= 3, k= 4 τ ( 2431)= 3+ 1= 4 ( 1) j= 4, k= 3 τ ( 2341)= 3= 3 ( 1) j= 4, k= 3

τ ( 2431)

= 1

τ ( 2341)

= 1

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5.一些特殊的行列式 (1)三角行列式、对角行列式

a11 a1n a11 n =∏ aii= i=1 ann ann a11= an1 ann

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问：

a1 an

( 1) a1a2 an= __________________

1 n ( n 1) 2

= (2) A (aij )n×n, k∈ R | kA|= kn| A| .| A|| B|=| BA|= (3) A (= aij )n×n, B (bij )n×n | AB|=注 (1)| A+ B|≠| A|+| B|

= (2 ) A (a= (bij )n×m | AB|=| BA| ij )m× n, B(4)分块三角行列式

= aij )n×n, Bmn (b= (cij )m×m设 Ann (= ij ) m×n, C mm

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Ann O=|A= nn|| C mm| Bmn C mm Ann= O O C mm Ann Bmn= ( 1) Bnm= C mmmn

Ann O

Bnm C mm

O C mm| Ann|| C mm| Ann O= 0 C mm Ann O

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(5)范德蒙行列式

Dn=

1 x1 2 x1 n 1 x1

1 x2 2 x2 n 1 x2

1 1 x n 1 x n 2 2 xn x= 1 n n 1 n 1 xn x n 1

1≤ i< j≤ n

∏

( x j xi )

= ( xn xn 1 )( xn xn 2 ) ( xn x1 ) ( xn 1 xn 2 ) ( xn 1 x1 ) ( x2 x1 )

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例如，计算4阶行列式3 a1 2 a1 b1 D4= a1 b12 3 b1 3 a2 2 a2 b2 2 a2 b2 3 b2 3 a3 2 a3 b3 2 a3 b3 3 b3 3 a4 2 a4 b4 2 a4 b4 3 b4

( a1a2a3a4≠ 0 )1 b3 a3 1 b4 a42

解

1 b1 a1 D4= a a a a b1 a1 3 3 3 3 1 2 3 4 2

1 b2 a2 b2 a2 b2 a2 2

b3 a3 b3 a3

b4

a4 b4 a4

2

b1 a1

3

3

3

3

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1 b1 a1 D4= a a a a b1 a1 3 3 3 3 1 2 3 4 2

1 b2 a2 b2 a2 b2 a2 2

1 b3 a3 b3 a3 b3 a3 2

1 b4 a4 b4 a4 b4 a4 2

b1 a1 3 3 3 3 1 2 3 4

3

3

3

3

b4 b3 b4 b2 b4 b1 =a a a a a4 a3 a4 a2 a4 a1 b3 b2 b3 b1 b2 b1 a3 a2 a3 a1 a2 a1

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(6)爪型行列式

x b2 bn

a2 an n ai bi x2= x2 x3 xn x ∑ i= 2 xi xn

其中 xi≠ 0, i= 2,3, , n

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二、行列式的基本性质设 A=

a ) (α,α, ,α ), (=ij n×n 1 2 n T

α i,β i (1≤ i≤ n)A+ B

是n维列向量

1) 2)

A= A; AT+ BT= ( A+ B )T=

α1 kα i α n= kα1 α i α n的值为零.

( k∈ R)

注：行列式中有一行(列)元素为零,则此行列式

3)α1 α i+β i α n=α1 α i α n+α1 β i α n

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4)

α1 α i α j α n= α1 α j α i α n

特别地,当行列式中有两行(列)元素成比例时,该行列式的值为零.

5)α1 α i α=α1 α i+ kα j α j α n j α n a11 a1n n n 6)= Dn = = aij Aij∑ aij Aij∑= i 1= j 1 an1 ann(按行(列)展开定理)

k∈R

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A,i= k 7)∑ aij Akj= j=1 0, i≠ kn

(注：对列也有类似的结果)

当 i≠ k时，左边表示行列式中两行元素对应成比例。三、克拉默法则(放到第四章线性方程组里讲)

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四、多项式(函数)相关的行列式计算例1求

1 1 1 2 x2 D4= 2 3 2 3

2 3 2 3 1 5 1 9 x2

分析：观察第一行与第二行，第三行与第四行，你会发现

当x=±1, x=±2时 D= 0 D4=k ( x+ 1)( x 1)( x+ 2 )( x 2 )

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而 x 4前的系数可由定义求出，根据行列式各项取自不同行不同列的法则，含 x 4幂的项只能有二个

1) 2)

( 1 ) ( 1 )

τ ( 1234 )

a11a22a33a44= 2 x2

(

)(

9 x2

) )

τ ( 3214 )

a13a22a31a44= 4 2 x 2

(

)(

9 x2

x 4前面的系数为 k= 1 4= 3

D4= 3 ( x+ 1)( x 1)( x+ 2 )( x 2 )