2019届高考一轮复习备考讲义(全国用)人教A版 第十三章 推理与证(2)

T n }的公比为q ，故选C. (2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的

距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c

＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．

答案 P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d

＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一

点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d

＝1.

思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

跟踪训练 (2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发

现了“莱布尼茨三角形”如下图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋

1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

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1 5 10 10 5 1

…

C 0n C 1n … C r n … C n －

1n C n n 图1

12 12

13 16 13

14 112 112 14

15 120 130 120 15

16 130 160 160 130 16

…

1C 1n ＋1C 0n 1C 1n ＋1C 1n … 1C 1n ＋1C r n … 1C 1n ＋1C n －1n 1

C 1n ＋1C n n 图2

答案 1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1

C 1n ＋2C r ＋1n ＋1 解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数

1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一

行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1， 有

1

C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1. 题型三 演绎推理

典例 (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n

S n (n ∈N *)．证明： (1)数列????

??S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .

证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n

， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .

∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)

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故????

??S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1

(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1

·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)

又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)

∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩

答案 D

解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 故选D.

(2)已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．

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证明设x1，x2∈R，取x1<x2，

则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，

∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，

[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，

∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．

∴y＝f(x)为R上的单调增函数．

高考中的合情推理问题

考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．

解决此类问题的注意事项与常用方法：

(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．

(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．

典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：

①b2 018是数列{a n}的第________项；

②b2k－1＝________.(用k表示)

(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．

①A＝N*，B＝N；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；