2019届高考一轮复习备考讲义(全国用)人教A版 第十三章 推理与证

2019届高考一轮复习备考讲义(全国用)人教A版 高考专题含答案

§13.1合情推理与演绎推理

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理．

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(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)

(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)

(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)

题组二教材改编

2．[P71例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()

A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3

C．a n＝n2D．a n＝3n－1

答案 C

解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.

3．[P84A组T5]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．

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答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)

解析利用类比推理，借助等比数列的性质，

b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．

题组三易错自纠

4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()

A．结论正确B．大前提不正确

C．小前提不正确D．全不正确

答案 C

解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．

5．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．

则正确的结论是________．(填序号)

答案①④

解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．

6．(2018·中山模拟)在△ABC中，不等式1

A＋1

B＋

1

C≥

9

π成立；在凸四边形ABCD中，不等式

1

A＋

1 B＋1

C＋1

D≥16

2π成立；在凸五边形ABCDE中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D＋

1

E≥

25

3π成立…依此类推，

在凸n边形A1A2…A n中，不等式1

A1＋1

A2＋…＋1

A n≥____________________成立．

答案

n2

(n－2)π

(n∈N*，n≥3)

解析∵1

A＋1

B＋

1

C≥

9

π＝

32

π，

1 A＋1

B＋1

C＋1

D≥

16

2π＝

42

2π，

1 A＋1

B＋1

C＋1

D＋

1

E≥

25

3π＝

52

3π，…，

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∴1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2

(n －2)π

(n ∈N *，n ≥3).

题型一 归纳推理

命题点1 与数字有关的等式的推理

典例 (2016·山东)观察下列等式：

????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43

×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43

×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43

×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43

×4×5； …

照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋???

?sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43

×n ×(n ＋1) 解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43

，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.

命题点2 与不等式有关的推理

典例 (2017·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：

a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …

照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______.

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答案 n a 1a 2…a n

解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．

命题点3 与数列有关的推理

典例 (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式：

1＋2＋3＋…＋n ＝12

n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16

n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …

可以推测，1＋5＋15＋…＋

124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 答案 1120

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 解析 根据式子中的规律可知，等式右侧为

15×4×3×2×1

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120

n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 命题点4 与图形变化有关的推理

典例 (2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( …… 此处隐藏：2956字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……