2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标47两条直线的位置

1 第47讲 两条直线的位置关系

[解密考纲]对直线方程与两条直线的位置关系的考查，常以选择题或填空题的形式出现．

一、选择题

1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a ＝( D )

A ．1

B ．－13

C ．－23

D ．－2

解析 由a ×1＋2×1＝0得a ＝－2，故选D ．

2．直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( C )

A ．x ＋2y －1＝0

B ．2x ＋y －1＝0

C ．2x ＋y －5＝0

D ．x ＋2y －5＝0

解析 由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.

3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m ＝( B )

A ．0

B ．－8

C ．2

D ．10

解析 k AB ＝4－m m ＋2

＝－2，则m ＝－8. 4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( C )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析 因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C ．

5．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )

A ．3 2

B ．2 2

C ．3 3

D ．4 2

2 解析 由条件知点M 的轨迹是直线x ＋y ＋－7－52

＝0，即x ＋y －6＝0，所以最小距离为|0＋0－6|12＋1

2＝3 2. 6．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．

若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP ＝( D )

A ．2

B ．1

C ．83

D ．43

解析 以AB 为x 轴，AC 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，由题设知B (4,0)，C (0,4)，

则直线BC 方程为x ＋y －4＝0，

设P (t,0)(0<t <4)，则P 1(4,4－t )，P 2(－t,0)，根据反射定理可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在直线，直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t

·(x ＋t )， 设△ABC 的重心为G ，易知G ? ??

??43，43.因为重心G 在光线RQ 上，所以有43＝4－t 4＋t ·? ????43＋t ，即3t 2

－4t ＝0.

因为0<t <4，所以t ＝43，即|AP |＝43

.故选D ． 二、填空题

7．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是__2x －y ＋4＝0__.

解析 解析y ′＝6x －4，∴y ′|x ＝1＝2，

∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.

8．过点(－1,1 )的直线被圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0截得的弦长为43，则该直线的方程为__x ＝－1或3x ＋4y －1＝0__.

解析 圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝16，则圆心为点M (1,2)，半径r ＝4.

3 由条件知，点(－1,1)在圆内，设过点N (－1,1)的直线为l ，

当l 的斜率k 不存在时，l ：x ＝－1，则交点A (－1,2－23)，B (－1，2＋23)，满足|AB |＝4 3.

当l 的斜率k 存在时，设l ：y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0，则圆心M (1,2)到直

线l 的距离d ＝|k －2＋k ＋1|k 2＋1＝|2k －1|k 2＋1

. 则d 2＋(23)2＝16，即d 2＝k －

2k ＋1＝16－12＝4，解得k ＝－34

. 此时，y －1＝－34

(x ＋1)，即3x ＋4y －1＝0. 综上所述，直线l 为x ＝－1或3x ＋4y －1＝0.

9．已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在

x 轴上，则|PA |＋|PB |的最小值是解析 点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，

则|PA |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为M ，

则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5.

由三角形两边之和大于第三边知，

当P 不与M 重合时，|PA |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |，

故当P 与M 重合时，|PA |＋|PB |取得最小值．

三、解答题

10．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．

解析 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离

d ＝|－1－5|1＋9

＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，

则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9

＝3105， 解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，

所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.

设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，

则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9

＝3105， 解得n ＝－3或n ＝9，

所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别

是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.

4 综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0.

11．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)，求：

(1)BC 边上的高AD 所在直线方程的一般式；

(2)求△ABC 的面积．

解析 (1)因为k BC ＝－2－33－4＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线的斜率k ＝－15

. 所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15

(x －2)，即x ＋5y ＋3＝0. (2)由题意得BC 的直线方程为y ＋2＝5(x －3)，

即5x －y －17＝0.

点A 到直线BC 的距离d ＝|5×2－－－17|52＋1＝626

， |BC |＝26，S △ABC ＝3.

12．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大．

(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小． 解析 (1)如图(1)，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，直线l 的斜率为k 1，则k 1·

k BB ′＝－1，即3·b －4a

＝－1.

图(1)

∴a ＋3b －12＝0.①

又由于线段BB ′的中点坐标为? ??

??a 2，b ＋42， 且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42

－1＝0. 即3a －b －6＝0 ②.解①②得a ＝3，b ＝3，

5 ∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4

， 即2x ＋y －9＝0.

解????? 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得????? x ＝2，y ＝5，

即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)，此时|PA |－|PB |最大．

(2)如图(2)，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为? ??

??35，245

.

图(2)

∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为? ??

??117，267，故Q 点坐标为? ??

??117，267，此时|QA |＋|QC |最小．