2.3.2两个变量的线性相关

2.3.2两个变量的线性相关

知识回顾：

(1)、在2.3.1的学习中，我们知道两个变量之间关系有两类

函数关系 相关关系 分别是____________和____________变 量 间 的 关 系 变 量 间 的 关 系

确定性

随机性

散点图 (2)、两个变量是否线性相关可通过__________看出，其中

负相关 正相关 线性相关分为________和__________两种。

你能指出下列哪些图是线性相关，哪些不是？若线性相关是正相关还是负相关？

正 相 关

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 50 100 150

系列1

系列1

负 相 关

1980

1985

1990

1995

2000

图 13.3 3.1 2.9 2.7 2.5 2.3 2.1 1.9 1.7 1.5 0 1000 2000 12 10 8 系列1 6 4 2 3000

图 2

系列1

不具有线性相关关系4000 0 5000

0

10000

图 3

图 4

例1、5个学生的数学和物理成绩如下表：A B C D E

数学x物理y

8070

7566

7068

6564

6062

画出散点图，并判断它们是否有相关关系。 若知某同学 解： 数学成绩为73, 物理成绩 80 能否估计其 75 物理成绩？ 7065 60 55 50 40 50 60 70 80

数学成绩90

由散点图可见，两者之间具有正相关关系。

从上图可以看出，图中的五个点近似成一 条直线，求出这些点所满足的回归直线方程， 把数学成绩代入方程即可得到该同学的物理 成绩的估计值。

那么如何具体求出这个回归方程呢？

① 由最小二乘法求得的a、b的估计值分别记为

② 回归直线方程为：

y a bx

例1 解：

序号A B C D E 求和

数学x80 75 70 65 60 350

物理y70 66 68 64 62 330

x*x6400 5625 4900 4225 3600 24750

xy5600 4950 4760 4160 3720 23190

x 70, 66 y 23190 5 70 66 9 b 0.36 2 24750 5 70 25 9 a 66 70 40.8 25

y 40.8 0.36 x 当x 73时，其物理成绩的估计值为67.08

你能总结出求回归直线方程的步骤吗？第一步：做出散点图，判断是否线性相关； 第二步：列表 xi ,

y ,x y ,xi i in 2 n i 1 i 1

2 i

;

第三步：计算 x, y, xi , xi yi ; 第四步：代入公式计算 b, a 第五步：写出回归直线方程。

的值；

利用线性回归方程对总体进行估计例2:有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热 饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天 气温的对比表：温 度-5 0 4 7 12 15 19 23 89 27 93 31 76 36 54

热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104

(1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；

(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。0

例2: 解: (1)散点图160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0

热饮杯数

温度10 20 30 40

(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。

(3)从散

点图可以看出，这些点大致分布 在一条直线附近。160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10

^ Y=-2.352x+147.767

20

30

40

(4)当x=2时，y=143.063,因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。

^

小结：(1)判断变量之间有无相关关系，简便 方法就是画散点图。 (2)当数字少时，可用人工或计算器求回 归方程；当数字多时，用Excel求回归 方程。 (3)利用回归方程，可以进行预测。

1、线性回归方程 y bx a 必过( D )

A、(0、 0)点 B、(0、 x)点 C、(0、 y )点D、(x、 y )点

自 我 测 评

2、对于回归方程 y 4.75 x 257

,

当x=28时，y的估计值是

390 。