关于分块矩阵的逆矩阵解法

矩阵

维普资讯

第l 6卷第 4期19 9 4年 1 2月

南昌大学学报J u n l fNa e a g Un v r i o r a n h n ie st o y

V o 6. I 1 No 4 De 1 9 c 9 4

关于分块矩阵的逆矩阵解法,一

7摘要关键调

涛

({ t。={ )(础课教学部)基讨论了几种阶数较高的矩阵经分块后的分块矩阵的逆矩阵的解法问题 .矩辟，块矩阵，矩辟丹逆

我们知道，矩阵是从线性方程组引出来的，于非齐次线性方程组 A= B,中：对 X其

A=

如果^可逆，么其解为 x— A那

:.J:匡…== I:匿f臣…:: l I1口 6 .口： a…l曲’“. I] i lJ . j 1,I l B… x兰，口| …『l x l21一

因此，解上述非齐谈线性方程组的关键是先求出^~.当

A是低阶可逆矩阵时，可直接用求逆矩l的计算公式求以-,且运算量不会太大.砗。而然而对于阶数较高的矩阵，计算起来就比较厨难 .为予简化运算，可先将矩阵 A进行分姥.本支介绍几类阶数较高的矩阵经分块后的分块矩阵的求逆矩阵的计算公式，从而达到简化运算的目的 .

1

分块矩阵形如。一

妻的矩曲法逆阵解

设-[三，丘与示腧阶十阶2的位阵。== -、 表 r,、和阶单矩.。: 1、分：]丘 r1如果^ .分别是 r )、^阶和。阶的可逆矩阵， ^ ^分别是，x阶和× r阶的零矩阵，么那D;

L A r I A o O nn J

因为 l= I I^≠ 0所以，可逆. DI A j l, D由定义 DD一丘+,于是有： .

唆=] 收祷日期 l 9 4 l— z l9一 o l 9 0

矩阵

维普资讯

算出上式并比较等式两边，到：得f l _ E A】 Xl一

l l 2 0 A】 Xl—l X:= 0 A _

【 2 E A X2:,解得 Xl: A五， 2 0 Xl; 0 X"; A矗 . _ X】;, l,。

因此矩阵，么那

[A一[']。0。 0 A :A , f。￣1 t A。=

c

2如果 A A:分别是 r阶和 s的可逆矩阵， ) :阶 A是 r× s阶的零矩阵， s× r阶的 A:是

[

因

为 1 I I D= A l^”l 0所以，可逆 . l≠, D由定义 DD; E…,于是有：

[乏 2 [] 算出上式并比较等式两边，到：得f I .=丘 A, X’

( ) 1

l】 2 0 11— A x1

、

( 2) ( 3) ( 4)

l 1 _ An 2= 0 Al+ X_ Xl 【 1+ A” 2: E Az 2 xz,由()(),: 1、2式得X ; A, l; 0

把 X. A代入 ( ),: 1一 3式得A2X:一 A2X I 2 1 1=一 A i _ A

所以

X2 1=一 A 2 A"|。 A

把 X】= 0入 ( ), .:= A:代 4式得P: C

因此=

[ 2= [D:

(I )

_一 A2l 0 C A” _≠, 3如果 A.是 r阶可逆矩阵，。 E, A”均为 r矩阵，且 A_ ) A.= A 阶并

A一 A A为可逆矩阵，那么。

L^2_

A 2 l J

]

而 I I l .:一 A I 0故 D也可逆 . D= A。 A≠,由定义 DD: E,是于

[ Ar羔=]。 A::[ ^:,] I -.:儿，, x .i将上式乘出并比较等式两边，到：得 9l

矩阵

维普资讯

{ l+ E Xn— E Al xu

( ) 5 ( ) 6 ( ) 7

Il A- x¨+ Ex柠= 0 r l x-+ A l J 0 An I l xz一【 x-+ A” An 2 x越一 E ,由(),: 5式有Al - l l— E,一 X l X -

() 8

从而X- l— Af一 A X¨ t ( ) 9

代入 ( ),; 7式得所以

Al( t lAf一 A墨 I )+ A≈ Xn一 0X“=一 ( A一 A lA )。 n l _ A A=一 C~ A n H A

代入 (),; 9式得由 (),; 6式有 代入 ( ),: 8式得所以

X一 A‘ Er+ C A ) (X”一一 A X一

( 0 1)

A2 l A X l l+ Al t— Er l X2

X”一 ( An— A l l A )= C一一

代入 (0式 .:墨 l一 A C 1)得 一 因此

L” C 晚 A一 A’ C J A J L n 一~A z J ’

㈩

从 (可看出，算 2 _)计 r× 2 r阶矩阵的逆矩阵时，

须求出两个 r阶的矩阵的逆矩阵 (只即 A和 C )后，求逆矩阵很快就能算出，对原矩阵直接用求逆矩阵的公式计算要简便一‘ 所比些.

4如果 Am An分别是 r阶和阶的矩阵， ) A A目分别是 r×阶和× r阶的矩阵，且并 J l≠ 0 J l— Al z≠ 0Ⅳ; A”一 A AlJ ,A - A| f I A-, A A为可逆矩阵 .么 l那A, L一

=

A t A2 2≠。 -,』 A￣

从而 D也可逆.由定义 DD= E,.于是；+,

[ Ar羔=]三 1 u[ :,。] t l儿 X墨将上式乘出并比较等式两边，到 t得 f I Al xu+ AI l x¨= E,( 1 1 ) ( 2 1 )

J J l+ l l 0 l l 墨=I: l A: l 0 AI+ l= xl xl由 (1式， 1)有

( 3 1) (4 1)

l 2 2 Al Al+ 2 xI x”= E . A 一 E x. r— A. 1而： -从 x|XI— A五一 AIAl J‘ J l X甜

(5 1)

代入 (3式，: A l 一 A A 1)得 ? A” A l l d2 l 0 l x土+ 2= x:所以代入 (5 1 )式 . z得 9 - 2 l X“=一 (一 A:‘:~A2 A" l Al A ) -^一一日 A 2A

. A (+ A: -Al )一‘Er I’Ⅳ A

矩阵

维普资讯

聋

又由(z式，: 1)有

Xl 2=一 A5 Al ’ z X≈

( 6 1 )

朴

代入( 4式，: 1)得所以代入 (6式， 1)得因此

一 A A’ +^ x 5A x 一 EX”= ( An— Az 21一 . Al) A5

X一^ A.:一： H

鹭9

f-^1=『 (+ H5 一 A ^ 【 E^^‘。^' 1 ^z。 一H一 A -4 H一H j -^ r - A L z 2 j^ -

()Ⅳ

从 (Ⅳ)可见，出 r阶和 s的矩阵的逆矩阵 (^和 H ),来的 ( s求阶即后原 r+ )× ( r+ )阶的矩阵的逆矩阵就比较容易算出，比对原矩阵直接用求逆矩阵公式计算要方便得多 .Au 0O O

2分块矩阵形如 D一

A l A 2。 2

的逆矩阵解法

An At 2

…

An

1如果 D为准对角矩阵， )即l】

0

D=

I.。 1^ . 0 .…

I

1 0并且A J 1 0D—I—… …

0At。,0…

^…,均为可逆矩阵， 可知， 山那么0 Az 2…

。]0 I

0A‘…

0 0●‘

…

(V )

0

0

…

^ J

0

0

^

z如果 D不是准对角矩阵， )但是 4 A…, A均为可逆矩阵，么求 D时，那 可采取降阶的办法，复利用 ( )逐步求出 D的逆矩阵.法如下反 I,解因为 J— J J^”1 A f≠ 0所以 D可逆. D .J A J .j j .,令 D】一 Al,】 l。::一

‘

[三一三三， t I[ l。=n :]]L^∞ J,。] Dz

9 3

矩阵

维普资讯

F“ 0… 0 A ]D一:

1 .“

…… … …

。

』D 1:D一。,『 J s 一『 L。]

A… J D l=[ l An… A,于是 Di;一 A一

A㈩]

由(I)可得；,

[A一

再由 (,得 I)可

% c宇= I 1

=

[A~

] ]…一棚一

如此继续下去 .即反复运用 (,后得： I)最

D一一『阢1 .一

L— A D。 JD I,一，.

,

(Ⅵ )要反

0

…

由此可见，求形如 D— A, Az:在 I

…

0

…

…

…

L A … A n

■参考文献

[]北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编.等代数. 1高^民教育出版社，9 8 17[][] z英巴尼特 s著 l刘则刚，鼎坤译 .潘科技人员用的矩阵方法.陕西科学技术出版社，9 5 1 8

O n nd ng t nv r e M a r x o r ii ne a r x Fi i he I e s t i f Pa tto d M t i

W a g T …… 此处隐藏：2194字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……