徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版, 全部章节课后答案详解(3)

n

证毕。

11

12 2 1 2 22

【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求 1,

2, 1

(a) x 100, y 50, xy b) x 200, y 0, xy 400;(c) x 2000, y 1000, xy 400; (d) x 1000, y 1500, xy 500.

【解答】由公式（2-6）

1 x 1 x 1 x ytan 1 1 arctan，得 xyxy 2 2 1 100 50 (a)

2 2 150

0

1 35 16'

1 200 0 512 (b)

2 3122

1 arctan

512 200

arctan 0.78 37 57'

400

1 2000 1000 1052 (c)

2 2 2052

1 arctan

1052 2000

arctan 7.38 82 32'

400

1 1000 1500 691 (d) 1809

2 2

1 arctan

691 1000

arctan0.618 31 43'

500

【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证sx=sy=-q及 xy 0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

【解答】（1）将应力分量 x y q, xy 0，和体力分量

y

fx fy 0分别带入平衡微分方程、相容方程

x xy

fx 0

y x

（a）

y xy f 0

y

x y

2 x y 0 （b）

显然满足（a）（b）

（2）对于微小的三角板A，dx，dy都为正值，斜边上的方向余弦l cos n,x ,m cos n,y ，将

x y -q, xy 0，代入平面问题的应力边界条件的表达式（2-15），且

x -qcos n,x ,y qcos n,y ，则有

xcos n,x qcos n,x , ycos n,y qcos n,y

所以 x q, y q。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12），得形变分量，

x

( 1)( 1)

q, y q, xy 0 （d） EE

将（d）式中形变分量代入几何方程（2-8），得

u( -1) v( -1) v u=q,=q, 0 （e） xE yE x y

前两式积分得到

（ -1）（ -1）u=qx f1(y),v=qy f2(x) （f）

EE

其中f1 y ,f2 x 分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入式（e）的第三式，得

df1(y)df2(x)

dydx

等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数 ，于是有

df1(y)df(x) ,2 dydx

积分后得f1 y y u0,f2 x x v0 代入式（f）得位移分量

( 1)

u qx y u0 E

（g）

( 1) v qy x v0

E

其中u0,v0, 为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得

从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解答。

【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力 y 0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。

【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x) Fx，横截面对中性轴的惯性矩为

Iz h3/12，根据材料力学公式

y

弯应力 x

M(x)12F

y 3xy； Izh

该截面上的剪力为Fs x F，剪应力为

Fs(x)S* F6F h2 h h/2 y 2 xy y b y y 3 3 bIzh 41 h/12 2 2

取挤压应力 y 0

（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：左

12F12F

y y 0 右 23hh

第二式：左=0+0=0=右

该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

左 2( x y) 0 右 满足相容方程

（4）考察边界条件

①在主要边界y h/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

0 0

m

-1 1

fx

0 0

fy

0 0

hy 上

2 hy 上

2

代入公式（2-15），得

y

y -h/2

0, xy

y h/2

0; y

y h/2

0, yx

y h/2

0

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩

h/2

( x)x 0dy 0 x向面力主矢 h/2 h/2

h/2( x)x 0ydy 0 面力主矩 2

h/2 6Fh h/22

( )dy ( y)dy F y向面力主矢3 h/2xyx 0 h/2 h4

满足应力边界条件

M

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN 0,FS F,M Fl

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

12F

lydy 0 FN

h/2 h/2h3

h/2h/122F( x)x lydy ly2dy Fl M3 h/2 h/2h

h/2

( x)x ldy

h/2

h/2

h/2

( xy)x ldy

h/2

h

6F h22 y dy F FS3 /2h 4

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为

fx

V V

,fy ，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为 x y

2 2 2

，试导出相应的相容方程。 x=2 V, y=2 V, xy

y x x y

【解答】（1）将fx,fy带入平衡微分方程（2-2）

x yx x yx V

f 0 0x y y x x x

（a）

y xy f 0 y xy V 0

y

x x y y y

将（a）式变换为

yx

0 ( x V)

x y

（b）

( V) xy 0

y

y y

为了满足式（b），可以取

2 2 2

x V 2, y V 2, xy

y x x y

2 2 2

V, y 2 V, xy 即 x y2 x x y

（2）对体力、应力分量fx,fy, x, y求偏导数，得

fx fy 2V 2V

2, 2 x x y y 2 2 x 4 2V 4 2V x

2 22 2, 2 4 2 （c）

x y x y y y x

2 2 y 4 2V 4 2Vy

2 4 2, 22 2

2

x x y x y y x

将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程

fx fy

x y (1 ) （2-21）

x y

2

2V 2V 4 2V 4 2V 4 2V 4 2V

2 4 2 4 2 22 2 (1 ) 2 2 22

x y x y y x x x y y y x

整理得：

2V 2V 4 4 4

222 4 (1 ) 2 2 x4 x y y y x

即平面应力问题中的相容方程为

（d）

4 (1 ) 2V

将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为

，的平面应变情况下的相容方程： 1

（e）

4 4 4 1 2 2V 2V

222 4 x4 x y y1 x …… 此处隐藏：2318字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……