徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版, 全部章节课后答案详解(2)

【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？

【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。

【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E为GPa级别的量，而泊松比 取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要大于平面应变问题的系数

1 /E。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。

2

【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量 x， y和 xy均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？

【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量 x， y和 xy均相同，但平面应力问题

z yz xz 0，而平面应变问题的 xz yz 0, z x y 。

（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量 xz yz 0, xy相同，而 x, y, z不相同。

（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的 x, y, xy

之间的关系式

【解答】由题可得：

l cos ,m cos 90 sin x AB 0,y AB 0

将以上条件代入公式（2-15），得：

图2-16

x ABcos yx ABsin 0, y ABsin ( xy)ABcos 0

( x)AB yx tan

y

AB

AB

tan2

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

M

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y=0）

0 -1

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

l m

fx s g y h1

g y h1

fy s

代入公式（2-15）得

gh1

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;

②在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件：

y

y 0

gh, xy

y 0

0

③在小边界y h2上，能精确满足下列位移边界条件：

u y h

时，可求得固定端约束反力分别为：

2

0, v y h 0

2

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 =1

Fs 0,FN ghb1,M 0

由于y h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

b dx gh1b 0yy h2 b

0 y y h2xdx 0

b

dx 0 0xyy h2

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

q

y

h 2hy

2

( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

h/2( )dx F

S

h/2xyx 0 h/2

h/2( x)x 0dx FN h/2 ( )ydx M h/2xx 0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux l 0,vx l 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

F F

y

x

q1l FN q1l FN 0,FN FN

M

0,FS FS ql 0 FS ql FS

q1lh121ql2

MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

h/2( )dy F ql F

N1N

h/2xx l q1lhql2 h/2

M FSl h/2( x)x lydy M 22

h/2( )dy F ql F

xyx lSS

h/2

【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？

【解答】由于h l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

(a)上端面OA面上面力x 0,y

qb

2

qb212

xq b

图2-19

由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

bbxqb b

dx dx qdx 0y 0b 0 y y 0

2

bbx bqb2 b

0 y y 0xdx 0yxdx 0q x dx

b 212

b

0 yx y 0dx 0

(对OA中点取矩)

(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qb b

dx F N 0 y y 0

2

qb2 b

0 y y 0xdx M 12

b dx 0 0 xy y 0

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）； （2）在s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）； （3）在su上的位移边界条件式（2-14）； 对于平面应变问题，需将E、μ作相应的变换。

【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。 【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A内的平衡微分方程式（2-2）；

（2）在区域A内用应力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；

（3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题； （4）对于多连体，还需满足位移单值条件。

【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）

【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A内用应力函数表示的相容方程式（2-25）； （2）在边界S上的应力边界条件式（2-15），假设全部为应力边界条件； （3）若为多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

y

图2-20 图2-21

y2

（a）图2-20，sx=2q， y xy 0。

b

【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）； …… 此处隐藏：2513字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……