一维搜索问题的三次B样条插值法

一维搜索是求解一个单变量函数的极小值minf(x),其中厂( )是定义在实数域上的非线性函数。求解一维搜索问题的方法有许多,如牛顿迭代法 、抛物型插值法Ⅲ 、三次插值法 、黄金分割算法[2]、混沌优化法Is]

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浙江科技学院学报， 2第 O卷第 1期， 0 8 3月 20年 J u n l f h j n i r i f c n e n c n l y o r a o e a g Unv s yo i c dTe h oo Z i e t S e a gVo . O No 1,M a .2 0 12 . r 0 8

一

维搜索问题的三次 B样条插值法罗煦琼(西民族大学数学与计算机科学学院，宁 50 0 )广南 3 0 6

摘要：基于一元三次 B样条函数插值，给出了一种求解一维搜索问题的新算法和数值实验结果。果表明，算结新法能很快地求出全局最优解，且剖分数越大，度越高。精 关键词：维搜索；一三次 B样条；值插中图分类号： 2 .; 3 T 3 1 6 02 1 2 02; P 0 . 文献标识码： A文章编号： 6 1 8 9 ( 0 8 0— 0 1 3 1 7— 7 8 2 0 ) 10 0— 0

Cu i s lne i t r l to o n - i e s o a e r h m e h d b c B— p i n e po a i n f r o e d m n i n ls a c t oLU o - o Xu qing( o lg fM a h ma is a d C mp t r S in e C l eo t e t n o e c u e c e c,Gu n x ie st o to aiis a g iUn v r i f r Na in l e,Na nn 3 0 6 y t n i g 5 0 0,Ch n ) i a

Absr c:Ba e n un v ra e c bi s lne i e p a i n,a ne a go ih t ol e o e di ta t s d o i a i t u c B— p i nt r olto w l rt m o s v n — me son ls ar h pr blm n he nu e i a e u t r r s nt d i t i p r The r s t ho n i a e c o e a d t m rc lr s ls a e p e e e n h s pa e . e uls s w t a h w l ort m r s n e n t e pa e a e h tm u s l i .The mo e t e nu h tt e ne a g ih p e e t d i h p rc n g tt e op i m o uton r h mbe r o a tto s,t i e

he a c r c s f p r ii n i he h gh rt c u a y i. Ke r s:o - i nso ls a c y wo d ne d me i na e r h;c bi s i u cB— pl ne;i e p a i n nt r ol to

一

维搜索是求解一个单变量函数的极小值

会接近于厂 ) (的极小点。由于 B样条函数是多项式样条函数中的一类具

mi x,中厂 )是定义在实数域上的非线性 n f( )其 (

函数。求解一维搜索问题的方法有许多，如牛顿迭代法、物型插值法Ⅲ、抛三次插值法、黄金分割算法[、沌优化法I等；此外，局最优化问题 2混] s]全

有正性与局部支撑性的样条函数，利用 B样条函数

来表示插值样条将大大地化简计算，且计算的数而值稳定性也很好，因此本文构造了一个三次 B样条函数 g )近目标函数厂 )通过求 g ) (逼 (, (的极小值来近似地逼近厂 )的极小值。数值结果说明该 (方法可以一次性求出函数的极小值，要求通过迭不代，数值结果具有很好的逼近阶。且

的一类确定性方法为覆盖法 ( o eig C vr n Meh d[ s,该方法逐步地将探测出的不含全局 t o ) -] 4极小的区域删除，直到剩余的区域足够小且含全局极小；以及结合界限函数和非精确搜索而得的算法[,满足一定条件时可在有限步内得到全局最优 6]化问题的全局最优解。插值法的思想是根据被插值函数厂 )的某些节点的值，造一个与它近似的 (构函数 g )在一定条件下可以期望 g )的极小点 (。 (收稿日期： 0 71—3 2 0—20

2一元 B样条函数的简介 2 1等距剖分下一元 B样条函数的定义 .

等距剖分下 n阶 B样条函数 B (的递推定义 )

基金项目：西民族大学研究生教育创新基金资助项目( XU C 0 5 )广 G N— HX 7 6。作者简介：罗煦琼 (9 4 1 8~ )男，南衡阳人，士研究生，,湖硕研究方向为样条函数及其应用。

一维搜索是求解一个单变量函数的极小值minf(x),其中厂( )是定义在实数域上的非线性函数。求解一维搜索问题的方法有许多,如牛顿迭代法 、抛物型插值法Ⅲ 、三次插值法 、黄金分割算法[2]、混沌优化法Is]

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浙江科技学院学报

第 2卷 O

h— z~

l一

,

f当 I丢 I<, 1 z ,

并记外节

点 z 口，= 6,一=一h z+^对此情形，有一

B ){, Il 0:1当z, ( = zl Il 1 >, 0 z ,当

组 S (, )中的三次 B样条函数 3B3 (n

)= B3—- 0 ( X X一 ) i=一 1, 1, 0, 2,,

n

…

,

+ 1,

() 2

它们中的每一个在[,]上都不恒等于零，而其他 n6的i所对应的 B样条函数，则在[,]口 6上恒等于零。

B() (— )—l:,( d 一 r B l t t r寺卜 t t z寺 d一 l)。 B一

由于( )总个数为+3这与三次样条函数 2的，空间的维数一致，因此它们构成空间 S (^ 3 △,)的组基底，这样一组三次 B样条基函数，用可将插

f 0 ,Bl一 1一 z,

I≥ 1 I, z0≤ z< 1,

值问题 I、Ⅲ的解表示为Ⅱ、

【 ( z,一 1< z< 0 B1一 )。

) c一 B )~ z。 ) (。对此

㈣

f

0,

{I 3 z>, JI

一 z詈 1<, l2号+,2 z 丢十’≤导 z 丢 l+, 0z ≤<,I B一)一<<。 。 z导 z 0 (,f 0, I≥ 2 I z,

)去 i(一。= c3/ B t,井一

{ () 一∑c。—),一，… 4 i(= 0,, ) B 1,(

f(一∑ 一/。 ) B。— ) (注意到 B ( )。 z函数值及其局部非零的性质

l z z 2 1z 2一。 2 z,≤<,+—+一

1 + 1 z, 3【 I B ( z),一3

< ,一 2< z< 0。

B(一号，。 1一言， 3) 0 B( ) 士B ( ) 0当 I 2。z一， I; z≥还注意到

2 2等距剖分下三次 B样条插值函数的构造 .盯

B(一 z+ 1Bz丢， ' ) Bz 1一z一 ) 3 z ( (B。 ),±1: 0一0。 )千去， z=0(z≥2。 ( B( B (),}i )。 于是式 ( )的每一个方程中只有 3个非零系数，具 4体为

设厂 z是定义在区间[,]的函数 f s) ()口6上 (一 c,

i 0 12,一，,…,求三次样条函数 ss ( )∈ S ( c p△,

插值条件 (

)出了+1 1给个条件，由于一个三次样

f Cl C——+ l一 2 f o h,

条函数靠+3个独立的条件来确定，以这不足以所

c l 4J C 1 6,一 0 1…, () r+ c+ j— L i+,,, 5

I c 1 c一 2f ~,+ l h。卜将式 ( )写成矩阵形式 5式问题 I S(c)= f o (c)一 f (c) ts o, s s。 Ac— f。

其中s

Ux )= ( (。 z )一 0,称为自然边界条件。

一

1 1

0 4

1 1,

问题Ⅲ 当厂z ( )为周期函数， f z )一因 (。fs) ( ,此时 sx )一 ss ) f s )且 5( o ) c (o ( 一 ( o, z+O c c= S(。 ) s(。 0 z~O, 3+ )一 s(。 0,时 sz称 Uc z一 )这 ()为周期样条函数。 A一

矩阵 A为 (+3阶， )

1—

4 O

1 1

1

在[,]区间上给定一个等距剖分 n6△^:= z0< z1<…< z= b, a

_厂一 ( h ,f一，f, h ) 2 f o6 6 2 f,,C (— C…, 1。 c l,o, c )

一维搜索是求解一个单变量函数的极小值minf(x),其中厂( )是定义在实数域上的非线性函数。求解一维搜索问题的方法有许多,如牛顿迭代法 、抛物型插值法Ⅲ 、三次插值法 、黄金分割算法[2]、混沌优化法Is]

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第 1期

罗煦琼：维搜索问题的三次 B样条插值法一表 1三次 B样条插值的算例 T be 1 Th u r a e u t fc bcB- pi ei tr …… 此处隐藏：3674字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……