高数(一)微积分公式(重要)(2)

在点的边际函数值。

成本、收入、利润函数的导数称为边际成本MC、边际收入MR、边际利润ML。

3．6．2 弹性分析

定义：设y=f(x)是一个经济函数，当经济变量x在点x0改变△x时，经济变量y相应地在y0=f(x0)处改变△y=f(x0+△x)-f(x0) ，如果极限

就是导数. 存在，则称此极限值为y=f(x)在点x0的弹性，记为。X0与Y0是常量放在极限的外面.后面的极限

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在任意点的弹性记为，它作为x的函数称为y=f(x)的弹性函数。

=

例4、（149页 例3）设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，S

是市场的供给量，则

称为供给价格弹性。

由于S一般随p的上升而增加，S（p）是单调增加函数，当△p＞0时，△S＞0，故≥0。其意义是：当价格从p上升1%时，市场供给量从S（p）增加个百分数。

例7、（05年1月考题）已知某厂生产x件产品的成本为

（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？

（2）如产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？ ，问：

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解：

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这个考收益与价格的弹性函数

.

R(P)的导数

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4.4 曲线的凹凸性和拐点

定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内

（1）f＇＇(x)＞0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

（2）f＇＇(x)＜0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

曲线的拐点及其求法

1.定义

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。

2．拐点的求法

拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。

设函数f(x)在x0的邻域内二阶可导且f＇＇(x0)=0或者二阶不可导：

（1）x0两侧f＇＇（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点；

（2）x0两侧f＇＇(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。

43 例2、求曲线y=3x-4x+1的拐点及凹凸的区间。

解：

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4.6 渐近线

1.水平渐近线（平行于x轴的渐近线）

如果（b为常数）那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线。

例如：y=arctan x,有水平渐近线两条：

2.铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线）

如果

，那么x=x0就是y=f(x)的一条铅直渐近线。

第五章 一元函数积分学

（1）；（2）；

（3）；4）；

（5）

（6）； ；（7）；

（8）

（10）；（9）；（11）； ；

（12）

不定积分的性质

（1）

证；（13）； ；

。

∴等式成立。

（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

（2）

（k是常数，k≠0）

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例：已知f（x）之一原函数为 ，求∫f＇（x）dx。

例：

由此可得换元法定理。

定理 设f（u）具有原函数，微分法） 可导，则有换元公式第一类换元公式（凑