高中数学(人教A版)选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 测试题(含详解)(2)

解．

5而当k＝±1时，方程(*)变形为2x－5＝0，x＝2(*)也只有一解．

233

3k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜3时，直线与双曲线有两个公共点；

3

当k＝±1，或k＝3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 33

当k＜－3，或k＞

3时，直线与双曲线没有公共点．

22．(12分)如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E，F. 若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围．

解 (1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P3，1)，依题意得

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||MA|－|MB|| ＝|PA|－|PB| 2＋3 2＋12－ ＝22<|AB|＝4，

∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线． 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2,2a＝2， ∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2. x2y2

∴曲线C的方程为221.

(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

2

1， k≠± 1－k≠0，

∴ 22

Δ＝ －4k ＋4×6 1－k >0， －3<k<3.

23 2＋12

∴k∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得 4k6x1＋x2xx＝－

1－k121－k|EF|＝ x1－x2 ＋ y1－y2 1＋k x1－x2 1＋k x1＋x2 －4x1x2

22 3－k

1＋k.

|1－k|

而原点O到直线l的距离d＝

2

1＋k

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1

∴S△OEF＝2·|EF|

＝12223－k21＋k

1＋k|1－k2|223－k|1－k|

.

若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥2，则有223－k|1－k|2 k4－k2－2≤0， 2≤k≤2③

综合②③知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－(1，2]． 1)∪(－1,1) ∪