ch 8空间解析几何与向量代数(2)

在直线AB上求一点M 使AM MB

解 由于AM OM OA MB OB OM

因此 OM OA (OB OM)

x xx xx x从而 OM 1(OA OB) ( , , ) bbyb axayaz5x 3y a 3x 2y b 1 1 1 1

这就是点M的坐标

另解 设所求点为M (x y z) 则AM (x x1, y y1, z z1) MB (x2 x, y2 y, z2 z) 依题意有AM MB 即

(x x1 y y1 z z1) (x2 x y2 y z2 z)

(x y z) (x1 y1 z1) (x2 y2 z2) (x y z)

(x, y, z) 1(x1 x2, y1 y2, z1 z2) 1

x x xy yz z y z 1 1 1

点M叫做有向线段AB的定比分点 当 1 点M的有向线段AB的中点 其坐标为 x x xy yz z y z 222

五、向量的模、方向角、投影

1．向量的模与两点间的距离公式

设向量r (x y z) 作OM r 则

r OM OP OQ OR

按勾股定理可得

|r| |OM| OP|2 |OQ|2 |OR|2

设 OP xi OQ yj OR zk

有 |OP| |x| |OQ| |y| |OR| |z|

于是得向量模的坐标表示式 |r| x2 y2 z2

设有点A (x1 y1 z1)、B(x2 y2 z2) 则

AB OB OA (x2 y2 z2) (x1 y1 z1) (x2 x1 y2 y1 z2 z1)

于是点A与点B间的距离为

|AB| |AB| (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2

例4 求证以M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形

解 因为 | M1M2|2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14

| M2M3|2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6

| M1M3|2 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6

所以|M2 M3| |M1M3| 即 M1 M2 M3为等腰三角形

例5 在z轴上求与两点A( 4 1 7)和B(3 5 2)等距离的点

解 设所求的点为M(0 0 z) 依题意有|MA|2 |MB|2

即 (0 4)2 (0 1)2 (z 7)2 (3 0)2 (5 0)2 ( 2 z)2

解之得z 14 所以 所求的点为M(0, 0, 14 99

例6 已知两点A(4 0 5)和B(7 1 3) 求与AB方向相同的单位向量e 解 因为AB (7, 1, 3) (4, 0, 5) (3, 1, 2) |AB| 2 12 ( 2)2

所以 e AB 1(3, 1, 2) |AB|

2．方向角与方向余弦

当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过 的夹角称为向量a与b的夹角 记作(a,^ b)或(b,^ a) 如果向量a与b中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与 之间任意取值

类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角

非零向量r与三条坐标轴的夹角 、 、 称为向量r的方向角

向量的方向余弦

设r (x y z) 则

x |r|cos y |r|cos z |r|cos

cos 、cos 、cos 称为向量r的方向余弦

y co s x cos cos z |r| |r||r|

从而 (co s, co s, co s) 1r er |r|

上式表明 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r 因此

cos2 cos2 cos2 1

例3 设已知两点A (2, 2, ))和B (1, 3, 0) 计算向量AB的模、方向余弦和方向角

解 AB (1 2, 3 2, 0 ) ( 1, 1, )

|AB| ( 1)2 12 ( )2 2

s 1 cos 1 cos 2 2 3 co 2 22334

3．向量在轴上的投影

设点O及单位向量e确定u轴

任给向量r 作OM r 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M (点M 叫作点M在u轴上的投影) 则向量OM 称为向量r在u轴上的分向量 设OM e 则数 称为向量r在u轴上的投影 记作Prjur或(r)u

按此定义 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三条坐标轴上的投影 即

ax Prjxa ay Prjya az Prjza

投影的性质

性质1 (a)u |a|cos (即Prjua |a|cos ) 其中 为向量与u轴的夹角 性质2 (a b)u (a)u (b)u (即Prju(a b) Prjua Prjub)

性质3 ( a)u (a)u (即Prju( a) Prjua)

§7 2 数量积 向量积

一、两向量的数量积

数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s表示位移M1M2 由物理学知道 力F所作的功为

W |F| |s| cos

其中 为F与s的夹角

数量积 对于两个向量a和b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即

a·b |a| |b| cos

数量积与投影

由于|b| cos |b|cos(a ^ b) 当a 0时 |b| cos(a ^ b) 是向量

b在向量a的方向上的投影 于是a·b |a| Prj ab

同理 当b 0时 a·b |b| Prj ba

数量积的性质

(1) a·a |a| 2

(2) 对于两个非零向量 a、b 如果 a·b 0 则 a b;

反之 如果a b 则a·b 0

如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a·b 0

数量积的运算律

(1)交换律 a·b b·a;

(2)分配律 (a b) c a c b c

(3) ( a)·b a·( b) (a·b)

( a)·( b) (a·b) 、 为数

(2)的证明

分配律(a b) c a c b c的证明

因为当c 0时 上式显然成立

当c 0时 有

(a b) c |c|Prjc(a b)

|c|(Prjca Prjcb)

|c|Prjca |c|Prjcb

a c b c

例1 试用向量证明三角形的余弦定理

证 设在ΔABC中 ∠BCA (图7 24) BC| a CA| b |AB| c

要证

c 2 a 2 b 2 2 a b cos

记CB a CA b AB c 则有

c a b

从而 |c|2 c c (a b)(a b) a a b b 2a b |a|2 |b|2 2|a||b|cos(a ^b)

即 c 2 a 2 b 2 2 a b cos

数量积的坐标表示

设a (ax ay az ) b (bx by bz ) 则

a·b axbx ayby azbz

提示 按数量积的运算规律可得

a·b ( ax i ay j az k)·(bx i by j bz k)

ax bx i·i ax by i·j ax bz i·k

ay bx j ·i ay by j ·j ay bz j·k

az bx k·i az by k·j az bz k·k

ax bx ay by az bz

两向量夹角的余弦的坐标表示

设 (a ^ b) 则当a 0、b 0时 有

cos a b |a||b|axbx ayby azbz

222222x ay azx by bz

提示 a·b |a||b|cos

例2 已知三点M (1 1 1)、A (2 2 1)和B (2 1 2) 求 AMB

解 从M到A的向量记为a 从M到B的向量记为b 则 AMB 就是向量a与b的夹角

a {1 1 0} b {1 0 1}

因为

a b 1 1 1 0 0 1 1

|a| 2 12 02

|b| 2 02 12

所以 cos AMB a b |a||b|1 1 22

从而 AMB3

例3．设液体流过平面S 上面积为A的一个区域 液体在这区域上各点处的流速均为（常

向量 v 设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)） 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ)

解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面 …… 此处隐藏：3223字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……