ch 8空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6、点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；

2、两个向量垂直和平行的条件；

3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；

5、点到直线以及点到平面的距离；

6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算；

2、平面方程和直线方程及其求法；

3、点到直线的距离；

4、二次曲面图形；

5、旋转曲面的方程；

第一节 向量及其线性运算

一、向量概念

向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时 常会遇到这样一类量 它们既有大小 又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等 这一类量叫做向量 在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向.

向量的符号

以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB 向量可用粗体字母

表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F或 a、r、v、F

自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 如果向量a和b的大小相等 且方向相同 则说向量a和b是相等的 记为a b 相等的向量经过平移后可以完全重合

向量的模 向量的大小叫做向量的模

向量a、 a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|

单位向量 模等于1的向量叫做单位向量

零向量 模等于0的向量叫做零向量 记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的

二、向量的加法

1．向量的加法

向量的加法 设有两个向量a与b 平移向量使b的起点与a的终点重合 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和 记作a+b 即c a+b . 三角形法则

上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则

平行四边形法则

当向量a与b不平行时 平移向量使a与b的起点重合 以a、b为邻边作一平

cC b C

A a B

B

行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b

向量的加法的运算规律

(1)交换律a b b a

(2)结合律(a b) c a (b c)

由于向量的加法符合交换律与结合律 故n个向量a1 a2 an(n 3)相加可写成

a1 a2 an

并按向量相加的三角形法则 可得n个向量相加的法则如下 使前一向量的终点作为次一向量的起点 相继作向量a1 a2 an 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和

负向量

设a为一向量 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量 记为 a 向量的减法

我们规定两个向量b与a的差为

b a b ( a)

即把向量 a加到向量b上 便得b与a的差b a

特别地 当b a时 有

a b

b b a a b a

a a a ( a) 0

显然 任给向量AB及点O 有

AB AO OB OB OA

因此 若把向量a与b移到同一起点O 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b a

三角不等式

由三角形两边之和大于第三边的原理 有

|a b| |a| |b|及|a b| |a| |b|

其中等号在b与a同向或反向时成立

2．向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义

向量a与实数 的乘积记作 a 规定 a是一个向量 它的模| a| | ||a| 它的方向当 >0时与a相同 当 <0时与a相反

当 0时 | a| 0 即 a为零向量 这时它的方向可以是任意的

特别地 当 1时 有

1a a ( 1)a a

运算规律

(1)结合律 ( a) ( a) ( )a；

(2)分配律 ( )a a a；

(a b) a b

例1 在平行四边形ABCD中 设AB a AD b

试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD 其中M是平行四边形对角线的交点

解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以

a b AC 2AM 即 (a b) 2MA

于是 MA 1(a b)

2 DC B

因为MC MA 所以MC (a b) 2

又因 a b BD 2MD 所以MD 1(b a) 2

由于MB MD 所以MB (a b) 2

向量的单位化

设a 0 则向量a是与a同方向的单位向量 记为ea |a|

于是a |a|ea

向量的单位化

设a 0 则向量a是与a同方向的单位向量 记为ea |a|

于是a | a | ea

定理1 设向量a 0 那么 向量b平行于a的充分必要条件是

存在唯一的实数 使 b a

证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性

设b // a 取| | |b| 当b与a同向时 取正值 当b与a反向时 取负值 即b a |a|

这是因为此时b与 a同向 且

| a| | ||a| |b||a| |b| |a|

再证明数 的唯一性 设b a 又设b a 两式相减 便得

( )a 0 即| ||a| 0

因|a| 0 故| | 0 即

给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点O及单位向量i确定了数轴Ox 对于轴上任一点P 对应一个向量OP 由OP//i 根据定理1 必有唯一的实数x 使OP xi (实数x叫做轴上有向线段OP的值) 并知OP与实数x一一对应 于是

点P 向量OP xi 实数x

从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系 据此 定义实数x为轴上点P的坐标 由此可知 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是

OP xi

三、空间直角坐标系

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为Oxyz坐标系

注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位

(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上 而z轴则是铅垂线

(3)数轴的的正向通常符合右手规则

坐标面

在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面

x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面 另两个坐标面是yOz面和zOx面

卦限