湖南邵阳市2011年中考数学试题(含解析)(2)

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是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN． (1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．

证明：在AB上截取EA＝MC，连结EM，得△AEM．

∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，

∴∠1＝∠2．

1

又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①

2又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM． ∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°． ∴∠5＝180°－∠6＝120°．………② ∴由①②得∠MCN＝∠5． 在△AEM和△MCN中，

∵∠1＝∠2． AE=MC ， ∠MCN＝∠5． ∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（如图），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1＝90°时，结论A1M1＝M1N1．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）

【答案】：成立 在A1B1上截取A1H M1C1

(3) 若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn＝ °时，结论AnMn＝MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

【解题思路】：∠AMN=60°＝ （3－2）/3 ×180°

∠A1M1N1=90°＝（4－2）/4 ×180° ∠AnMnNn= （n－2）/n ×180°

【点评】：本题考察了三角形全等的判定，当全等三角形不明确时构建全等三角形是本题的主旨，如何构建就是个人长期学习练习形成的，难度较大的是第三问，这里如果能快速判定该角度数是180的若干倍，且这个倍数与正多边形的边数有内在联系将容易分析。难度较大

六、综合题（本大题12分）

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24．如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，点C(0，3)，点B

4是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C． ．．．．（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解题思路】：(1) ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ∴∠ACB=90 ．．．．

992

(2) ∵△AOC∽△ABC ∴OC AO OB ∵A(－，0)，点C(0，3)，∴AO

44

9

OB ∴ OB 4 ∴B(4,0) 把 A、B、C三点坐标4127

x 3 代入得 y x

312OC 3 ∴32

(3)

1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC

1

2

OH

13OB ∴D(2,) 22

4433

DG= ∴D(,)

5555

2) BD=BO 过D作DG⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG=

【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等.