常用数据分析与处理方法

大学物理实验

常用数据分析与处理方法列表法 图示法 最小二乘法拟合经验方程 逐差法 实验结果的表示

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列表法 列表法没有统一的格式。 设计表格，要求能充分反映列表法的优 点，初学者要注意： (1)栏目要注明名称和单位； (2)栏目的顺序应注意数据间的联系、计 算顺序，力求简明、齐全、有条理； (3)反映测量值函数关系的数据表格，应 按自变量由小到大、或由大到小顺序排列。

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图示法 (1)必须用坐标纸 确定作图的参量后，根据情况选择直角、 对数、半对数、或其它坐标纸。 (2)坐标比例的选取与标度 自变量作横坐标(X轴),因变量作纵坐 标(Y轴),标明所代表的物理量(或符号)、 单位。 坐标比例，做到实验数据的可靠数字在 图上是可靠的。 过小，损害数据的准确度； 过大，夸大数据的准确度。

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(3)实验数据的标志(描点) 实验数据用 符号“ 、 +、 ⊙、○、……” 等 符号标志。 符号的中心 正是数据点的位 置。

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(4)曲线的描绘 实验数据点 联系用平滑的曲 线描绘。 连线用直尺、 三角板、曲线板、 蛇尺等完成。 曲线到所有 实验点的距离最 小。

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(5)注解和说明 图纸上要写明图线的名称、作图者姓名、 日期以及必要的简单说明(如实验条件：温 度、压力等)。 (6)曲线的内插、外延 (7)坐标变换 非线性关系 → 线性关系

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例 直线图解法首先是求出斜率和截距， 进而得出完整的线性方程。 步骤： 选点 求斜率 求截距

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最小二乘法拟合经验方程y = f(x) 线性关系：y = a + bx 实验测量结果： x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … y n

yi = a + bxi 与y = a + bx的差异。n n i 1 2 i n 1

i = 1、2、3、…、n2

S yi a bxi

S最小——最小二乘法。

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S min

S 0、 a 2 S 0、 2 a

S 0 b 2 S 0 2 b

n S 2 yi a bxi 0 a n 1 n S 2 yi a bxi xi 0 b n 1

即

yi 1 n i 1

n

i

na b xi 0i 1 n n

n

xi yi a xi b xi2 0 i 1 i 1

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即

y a bx 0 xy ax b x 2 0 xy x y

a y bx 、 b

相关系数 r a、b的标准差 S a Sb

x

x2 x 2 xy x y

2

x 2 y2 y2

1 1 2 2 x 、S b b r n 2

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逐差法 两物理量呈线性关系，自变量等间隔变 化时。 用逐差法计算因变量变化的平均值。 测量的数据(偶数组)分成前后两组， 将对应项分别相减，然后计算平均值 。

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例 弹性模量实验数据如表所示，负载 与标尺刻度间的关系i mi/kg ri/mm r'i/mm ri /mm 1 0.00 90.0 88.4 89.2 2 0.500 101.5 100.0 100.8 3 1.000 112.5 111.0 111.8 4 1.500 124.5 122.8 123.4 5 2.000 135.3 134.0 134

.6 6 2.500 146.0 147.6 146.8 7 3.000 158.0 158.4 158.2 8 3.500 170.0 170.0 170.0

其中mi = Mi - m0,ri ri ri / 2 。 已知砝码质量mi= (0.500 0.005) kg,标 尺刻度的不确定度Δl = 0.3 mm。 求标尺读数与砝码质量的线性比例系数a。

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解： 将8个数据分成两组，j= 1、2、3、4,则1 2 3 4 l j ri 4 ri /mm 45.4 46.0 46.4 46.6 m'j = mi+4- mi/kg 2.000 2.000 2.000 2.000 m 2.000 kgl 46.1 mm, l 0.53 mm l 0.53 u A l t0.68 1.20 0.32 mm n 4 l 0.3 u B l k0.68 1.00 0.1 mm C 3

j

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标尺读数l、砝码质量m 的不确定度为

u l u l u l 2 A 2 B

0.32 0.1 0.3 mm m u m u B m k p C 0.005 1.00 0.0017 kg 3 l 46.1 0.3 mm m 2.000 0.002 kg2 2

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标尺读数与砝码质量的线性比例系数l 46.1 1 a 23.05 mm kg m 2.000 U a u l u m 2 2 a l m 2 2

故

0 .3 0.002 6.6 10 3 46.12 2.0002 U a 6.6 10 3 a 6.6 10 23.05 0.2 mm kg a 23.1 0.2 mm kg 1 3 1

2

2

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实验结果的表示 物理量的表示：有效数值、不确定度、 单位。 实验结果的有效位数由不确定度决定； 实验结果精度用不确定度、或相对不确 定度的表达式表示； 实验结果通常采用国际单位制。 物理量X的实验结果 单位 X x U p x 或 X x 1 U r

单位

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p是实验测量的置信概率，Up(x)是不确定 度，Ur是相对不确定度。 单次测量的结果 X = x Up (单位) 常将实验结果与公认值、或理论值比较Ex 或 Ex x x公认 x公认 x x理论 x理论 100% 100%