2012年辽宁高考数学理科试题详细解答(全word版_每个题都有详细解(2)

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20. （本小题满分12分）

x2y2

如图，椭圆C0:2+2=1 a>b>0,a,b为常数 ，

ab

动圆C1:x2+y2=t12,b<t1,A2分别为C0的1<a.点A左、右顶点，C1与C0相交于A,B,C,D四点 （1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； （2）设动圆C2:x2+y2=t22与C0相交于

A',B',C',D'四点，其中b<t2<a，t1 t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：t12+t22

为定值

设A x1,y1 ,B x1,-y1 ，又知A1 -a,0 ,A2 a,0 ，则 直线A1A的方程为 y=

y1

x+a ① x1+a

-y1

x-a ② x1-a

直线A2B的方程为

y=

-y1222

由①②得 y=22 x-a ③

x1-a

2

x12 x12y1222 由点A x1,y1 在椭圆C0上，故可得2+2=1，从而有y1=b 1-2 ，代入③得

ab a

x2y2

-2=1 x<-a,y<0 2

ab

（2）证明：设A' x2,y2 ，由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，得

x12 22 x22

因为点A,A'均在椭圆上，所以bx 1-2 =bx2 1-2 4x1y1=4x2y2, xy=x2y2，

a a

22

11

2

2

221

由t1 t2，知x1 x2，所以x12+x22=a2。从而y12+y22=b2，因而t12+t22=a2+b2为定值 21. （本小题满分12分）

设f x =ln

x+1 ax+b a,b R,a,b为常数 ，曲线y=f x 与直线y=切.

（1）求a,b的值；

（2）证明：当0<x<2时，f x <

3

x在 0,0 点相2

9x

x+6

（1）由y=f x 的图像过 0,0 点，代入得b=-1 由y=f x 在 0,0 处的切线斜率为

33 1 ，又y'x=0= a =+a，得a=0 2

x+1 x=02

（2）（证法一）由均值不等式，当x>0时，

记h x =f x -3

x

+1+1=x+2x

+1

2

9x1542+54+6x54

，则h'

x =

x+6x+1

x+6 22x+1 x+6 24+x1 x+6

2

x+6 -216 x+1 3

gx=x+6-216 x+1 ，则当0<x<2时， =，令 2

4 x+1 x+6 g' x =3 x+6 -216<0

因此g x 在 0,2 内是减函数，又由g 0 =0，得g x <0，所以h' x <0

因此h x 在 0,2 内是减函数，又由h 0 =0，得h x <0，于是当0<x<2时，f x <（证法二）

由（1）知f x

=ln x+1 ，由均值不等式，当x>0时，

2

9x

x+6

x

+1+1=x+2，故

x+1

2

令k x =ln x+1 -x，则k 0 =0,k' x =当x>0时，f x <

1-x

-1=<0，故k x <0，即ln x+1< x，由此得，x+1x+1

3

x，记h x = x+6 f x -9x，则当0<x<2时， 2

3 1

h' x =f x + x+6 f' x -9<x+

x+6 -9 2 x+1=

1 1 x

3x x+1 +

x+6 -18 x+1 <3xx+1+x+63+-18x+1 2x+1 2x+1 2

=

x

7x-18 <0

4x+19x

x+6

因此h x 在 0,2 内是减函数，又由h 0 =0，得h x <0，即f x <22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，O和O'相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：

（I）ACBD=ADAB； （II）AC=AE 证明：（1）由AC与O相切于A，得 CAB= ADB，同理 ACB= DAB，

ACAB

=，即ACBD=ADAB ADBD

（2）由AD与O相切于A，得 AED= BAD，又 ADE= BDA，得 EAD

AEAD

=从而，即AEBD=ADAB，综合（1）的结论，AC=AE ABBD

所以 ACB

DAB。从而

ABD

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

2

在直角坐标系xOy中，圆C1:x2+y2=4，圆C2: x-2 +y=4

2

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程

圆C1的极坐标方程为 =2，圆C2的极坐标方程为 =4cos ， 解

=2

得 =2, = ，故圆C1与圆C2交点的坐标为 2, , 2,-

3 3 3 =4cos

注：极坐标系下点的表示不唯一

x= cos

（2）（解法一）由 ，得圆C1与圆C

2交点的直角坐标为,

y= sin

故圆C1与圆C

2的公共弦的参数方程为

x=1 x=1

y

y=t y=y

（解法二） 将x=1代入

x= cos 1

，得 cos =1，从而 =

cos y= sin

x=1 -

3 y=tan 3

于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知f x =ax+1 a R ，不等式f x 3的解集为x-2 x 1 （1）求a的值 （2）若f x -2f

x

k恒成立，求k的取值范围 2

（1）由ax+ 3得-4 ax 2，又f x 3的解集为x-2 x 1，所以 当a 0时，不合题意 当a>0时，-

42

x ，得a=2 aa

1,x -1

1 x

（2）记h x =f x -2f ，则h x = -4x-3,-1<x<-，

2 2

1 -1,x - 2

所以h x 1，因此k 1