matlab 数值积分与微分

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第8章 数值积分与数值微分本章目标：近似计算 I 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

b a

f ( x)dx 和 f ( x)

Newton-Cotes公式 复化求积公式 自适应步长求积方法 Gauss求积方法 特殊函数的积分 数值积分的MATLAB函数求解 数值微分 实例解析

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8.1 Newton-Cotes公式思 利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路

插值型积分公式

在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b,做 f 的 n 次插值多项式 Ln ( x ) f ( x k )l k ( x ) ,即得到k 0 n

误差 R[ f ]b a

b

a

f ( x )dx f ( x k ) l k ( x )dxk 0

n

Ak

f ( x)dx Ak f ( xk )b a k 0

n

Ak

b a

(xj k

(x x j )k

xj )

dx

由节点 决定， b f ( n 1) ( ) n x f (x) 无关。 a ( x xk ) dx 与 (n 1)! k 0

[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dxa a

b

b

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一、梯形公式 用直线代替y=f (x):( 1)1 (b a) 1 b a A0 0 (t 1)dt 2 1!0! ( 1)0 (b a) 1 b a A1 (t 0)dt 0 1!0! 2

I A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) b a b a f ( x0 ) f ( x1 ) 2 2 b a [ f (a ) f (b)] 2

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二、Simpson公式利用二次插值多项式近 似代替f (x)。( 1) 2 h 2 b a A0 (t 1)(t 2)dt 2!0! 0 6 ( 1)1 h 2 4(b a ) A1 0 t (t 2)dt 6 1!1! ( 1)0 h 2 b a A2 t (t 1)dt 2!0! 0 6

I

b a 4(b a ) b a f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 6 6 6 b a a b [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 2

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三、Cotes公式在Newton-Cotes公式中取n 4, x0 a, x1 x0 h, x2 x0 2h, x3 x0 3h, x4 b

则有A0 A4 7 (b a), 90 A1 A3 32 (b a), 90 A2 12 (b a) 90

I

b a 3a b a b a 3b [7 f (a) 32 f ( ) 12 f ( ) 32 f ( ) 7 f (b)] 90 4 2 4

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8.2 复化求积公式高次插值有Runge 现象，2.5 2

1.5

1

0.5

0

-0.5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。

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一、复化梯形公式:

b a h , xk a k h n

( k 0, ... , n)

在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：xk xk 1 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n xk 1 2 n n 1 b h h f ( x )dx [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a 2 2 k 1 k 1 xk

f ( x )dx

=Tn

R[ f ] [ k 1

n

h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n

3

2

f (

n

k

)

/*中值定理*/

h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12

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二、复化辛普森公式:

h

b a , xk a k h n

( k 0, ... , n)

xk 1 xk

h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6

xk

xk 1

2

x k 1

44 4

44

b

a

n 1 n 1 h f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( xk 1 ) 2

f ( xk 1 ) f (b)] 2 6 k 0 k 04

= Sn

b a h (4) R[ f ] f ( ) 180 2

注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 h b a h , xk a k h ,有

h S n [ f (a ) 4 f ( xk ) 2 f ( xk ) f (b)] 3 odd k even k

n

2

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三、复化Cotes公式:类似于复化梯形公式和复化辛普森公式的推导过程，可以得到 复化Cotes公式： n 1 b h a f ( x)dx 90 7 f ( xk ) 32 f ( xk 14 ) 12 f ( xk 12 ) 32 f ( xk 43 ) 7 f ( xk 1 ) k 0 n 1 n 1 n 1 h [7 f (a) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) k k k 90 k 0 k 0 k 0 4 4 4

14 f ( xk ) 7 f (b)]k 1

n 1

注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 4n 为偶数，这时 h b a h , xk a k h ,有n 1 n 1 n 1 h I [7 f (a ) 32 f ( x4 k 1 ) 12 f ( x4 k 2 ) 32 f ( x4 k 3 ) 90 k 0 k 0 k 0

n

4

14 f ( x4 k ) 7 f (b)]k 1

n 1

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8.3 自适应步长求积方法[a, b]n等分时： f ( ) En ( f ) (b a )3 12n 2可用来判断迭代 是否停止。

[a, b]2n等分时： En ( f ) f ( ) 3 E2 n ( f ) (b a ) 2 12(2n) 4

则： I T2 n 1 1 I T2 n (T2 n Tn ) I Tn 4 3

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b a h n

h n 1 Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] 2 i 0 I xn x0

f ( x)dx [ i 0

n 1

x

i

1 2

xi

f ( x )dx

xi 1i 1 2

x

f ( x )dx ]) [ f (x1 i 2

T2 n {i 0

n 1

(x

1 i 2

xi ) [ f ( xi ) f ( x1 i 2

( xi 1 x )] 2

1 i 2

2

) f ( xi 1 )]}

n 1 h n 1 1 h n 1 [ f ( xi ) 2 f ( x 1 ) f ( xi 1 )] { [ f ( xi ) f ( xi 1 )] h f ( x 1 )} i i 4 i 0 2 2 i 0 i 0 2 2

1 [Tn H n ] 2

H n h f ( xH n 2T2 n Tni 0

n 1

1 i 2

)

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b a h nh S n [ f ( xi ) 4 f ( xi 1 ) f ( xi 1 )] 2 i 0 6 1 h n 1 1 h n 1 * [ f ( xi ) f ( xi 1 )] 4* * f ( x 1 ) i 3 2 i 0 3 2 i 0 2 1 2 Tn H n 3 31 T2 n [Tn H n ] 2 S 1 T 2 H n n n 3 3 n 1

H n 2T2 n Tn4T2 n Tn 1 2 Sn Tn (2T2 n Tn ) 3 3 3

复合辛普生公式？

两个梯形公式？ 精度大大提高！

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类似的有：42 S2n Sn Cn 2 4 143 C 2n C n Rn 3 4 1

Newton-Cotes

Romberg 序列

在相同的n(一定的采样条件)下取得更高的精度！!

在相同的n时收敛的更快！!!

利用低阶公式产生高精度的结果。

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龙贝格(Romberg)求积 基本思想： 梯形公式的逐次分半过程进行加速。 T2 n Tn 3( I T2 n )1

I T2 n [T2 n Tn ] 3而

4T2 n Tn I 3

S 2 n S n 15( I S 2 n )16 S 2 n S n I 15

1 I S2n ( S2n Sn ) 15

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