第二章 各向异性材料弹性力学基本知识

2 各向异性材料弹性力学基础2.1 各向异性弹性力学基本方程 2.2 各向异性弹性体的应力-应变关系 2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数

2.4 正交各向异性材料工程常数的限制条件

2.1 各向异性弹性力学基本方程2.1.1 弹性体中任意一点的应力分量对于直角坐标系oxyz,三个正交平面上的应力为

x xy xz 11 12 13 yx y yz 21 22 23 zx zy z 31 32 33

ij

i, j 1,2,3

其中： xy = yx, zx = xz, zy = yz 即切应力互等 6个应力分量： x, y , z , xy , yz , zx

2.1.2 弹性体中任意一点的应变分量对于直角坐标系oxyz,应变张量为

x yx zx

xy xz 11 12 y yz 21 22 zy z 31 32

x 13 1 23 yx 2 33 1 zx 2

1 xy 2

y1 zy 2

1 xz 2 1 yz 2 z

ij

i, j 1,2,3

其中： xy = yx= xy / 2, zx = xz = zx / 2 , zy = yz = yz / 2 。 xy , zx ,

yz 为张量切应变， xy , zx , yz 为工程切应变。6个应变分量： x, y , z , xy , yz , zx

2.1.3 弹性体中任意一点的位移分量对于直角坐标系oxyz,位移分量为

u d v w 3个位移分量：u, v , w

d ui

i 1, 2,3

弹性力学有15个基本未知量：3个位移分量：u, v , w 6个应力分量： x, y , z , xy , yz , zx 6个应变分量： x, y , z , xy , yz , zx

2.1.4 各向同性弹性力学基本方程对于直角坐标系oxyz,平衡微分方程为

x xy xz fx 0 x y z xy y yz fy 0 x y z xz yz z fz 0 x y z

ij ,i fi 0

i, j 1,2,3

其中：fx, fy, fz 为体力分量

对于直角坐标系oxyz,几何方程为

u x x v y y w z z v w yz z y w u xz x z u v xy y x

1 ij ui , j u j ,i 2

i, j 1, 2,3

根据变形协调方程，应变分量间满足：

x 2 2 y x x y2

2 y

2 xy

zx xy yz x y z x

2 y

2 2 z yz 2 2 z y z y

2 x 2 z 2 zx 2 2 z x z x应力边

界条件：

2 x 2 y z 2 y xy yz zx 2 y z x y z x 2 z yz zx xy 2 z x y z x y 位移边界条件：

x l xy m zx n f x xy l y m yz n f y zx l yz m z n f z

ij ni f j

i, j 1,2,3

u u v v w w

对于直角坐标系oxyz,平面应力问题物理方程为

1 x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E 1 yz yz G 1 xz zx G 1 xy xy G

x

平面应变问题：E、 作相应替换

E E 1 2

1

2.1.5 各向异性弹性力学平衡微分方程和几何方程对于直角坐标系oxyz,平衡微分方程为

x xy xz fx 0 x y z xy y yz fy 0 x y z xz yz z fz 0 x y z

ij ,i fi 0

i, j 1,2,3

其中：fx, fy, fz 为体力分量

对于直角坐标系oxyz,几何方程为

u x x v y y w z z v w yz z y w u xz x z u v xy y x

1 ij ui , j u j ,i 2

i, j 1, 2,3

应力与应变关系的一般形式为：

x f1 x , y , z , yz , zx , xy y f 2 x , y , z , yz , zx , xy z f3 x , y , z , yz , zx , xy xy f 6 x , y , z , yz , zx , xy f1 f1 x f1 0 x x 0 y f1 yz

小变形情况下，展开成泰勒级数，并略去其二阶及以上的小量

f1 y z z 0 0 xy 0

f1 f1 yz zx zx 0 xy 0

f1 f1 x f1 0 x x 0 y f1 yz f1 x

f1 y z z 0 0 xy 0

f1 f1 yz zx zx 0 xy 0

的值， f1 0 表示函数 f1 在应变分量为零时的值，即初始应力，由初始应

力的假设， f1 0 为零。 上式简化为

等表示函数 f1 对应应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时 0

x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy

小变形时，应变分量与应力分量间的关系：

x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 zx C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 zx C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 zx C46 xy zx C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 zx C56 xy xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy 其中：C11,C12,…,C66 共 36 个，称为刚度系数。 元素Cij 组成的 矩阵称为刚度矩阵，记为 C 。

应变分量与应力分量间的关系写成矩阵表示式为

x C11 y C21 z C31 yz C41 C51 zx C61 xy

C12 C22 C32 C42 C52 C62

C13 C23 C33 C43 C53 C63

C14 C24 C34 C44 C54 C64

C15 C25 C35 C45 C55 C65

C16 x C26 y C36 z C46 yz C56 zx C66 xy

各向异性弹性力学的基本方程有 15 个，加上给定的边界条件，可以确 定 15 个基本未知量。 结论： 各向异性弹性力学基本方程与各向同性弹性力学基本方程相比，平 衡微分方程、几何方程相同，只是物理方程不同。

2.2 各向异性弹性体的应力-应变关系(本构关系)2.2.1 各向异性弹性体的本构关系用1,2,3 轴代替x,y,z 轴，把应力、应变分量符号用简写符号表示， 相应替代关系为

应力：

x 1 y 2 z 3 yz 4 zx 5 xy 6

1 2 3 4 5 6

应变：

x 1 y 2 z 3 yz 2 yz 4 zx 2 zx 5 xy 2 xy 6

1 2 3 4 5 6

ij 表示工程切应变， ij (i ≠ j)表示张量切应变。< …… 此处隐藏：2456字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……