3.1 高斯消元法与矩阵的初等变换

第3章

线性方程组

一、高斯—若尔当消元法 二、向量组的线性相关性 三、向量组的秩 四、线性方程组解的判定 五、线性方程组解的结构首页 上 页 下 页 尾 页

第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX = b 成立.

问 题

方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解？首页 上 页 下 页 尾 页

例1. 考虑方程组的如下同解变换：

2 x1 x2 x3 1 , x3 2 x1 x3 2 x1 , 2 x1 x2 x3 1 x 3 2 x1 , x2 3 x3 5

—

2 1 1 1 A 1 0 1 2 1 0 1 2 2 1 1 1 1 0 1 2 0 1 3 5

得一般解(无穷多组解): (行(简化)阶梯形矩阵) x1 x3 2 , 自由未知量 x2 3 x3 5首页 上 页 下 页 尾 页

例2. 若某方程组经同解变换化为 x1 2 x2 x3 1 1 2 1 1 __ x2 x3 1 A 0 1 1 1 0 0 x3 5 1 5 显然，有唯一解. (行阶梯形矩阵) 例3. 若某方程组经同解变换化为 1 2 1 1 x1 2 x2 x3 1 __ A 0 1 1 1 x2 x3 1 0 1 1 5 x2 x3 5 1 2 1 1 x1 2 x2 x3 1 0 1 1 1 x2 x3 1 即 0 0 0 6 0 x3 6 显然，无解.首页 上 页 下 页 尾 页

x1 x2 x3 1 例4. 解方程组 x 2 x 5 x 2 1 2 3 2 x 3 x 4 x 5 2 3 1

解

1 1 1 1 1 1 1 1 __ A 1 2 5 2 0 1 6 1 2 3 4 5 0 1 6 3 1 1 1 1 1 0 7 0 0 1 6 1 0 1 6 1 0 0 0 2 0 0 0 2

无解.首页 上 页 下 页 尾 页

增广矩阵经 行 初等变换化为行(简化)阶 梯形，该阶梯形与方程组解的关系： 1 1 __ 0 0 A 0 0 0 0 1 行(简

化)阶梯形中 非零行的行数<未知量个数 1 0 4 2 0 1 3 1 无穷多解 0 0 0 0 0 0 7行(简化)阶梯形中 非零行的行数=未知量个数唯一解

1 2 1 1 __ A 0 1 1 1 0 0 1 5 __

1 0 7 0 A 0 1 6 1 0 0 0 2

该数不为零，无解首页 上 页 下 页 尾 页

问题： 对于齐次方程组 AX = 0 ? 1 1 __ 0 0 A 0 0 0 0 0 行(简化)阶梯形中 1 0 4 0 非零行的行数<未知量个数 0 1 3 0 有非零解(无穷多解) 0 0 0 0 0 0 7行(简化)阶梯形中 非零行的行数=未知量个数

1 2 1 0 __ A 0 1 1 0 0 0 1 0

只有零解(唯一解)

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3 x5 1 x1 x2 x3 例5. 解方程组 2 x 2 x x 2 x 4 x 2 1 2 3 4 5 3 x1 3 x2 x3 4 x4 5 x5 3 x1 x2 x3 x4 8 x5 2

解

1 __ 2 A 3 1

1 1 0 3 1 2 1 2 4 2 3 1 4 5 3 1 1 1 8 2 1 2 2 0 4 4 0 1 5 3 0 3

1 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2

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3 1 1 1 1 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 9 3

1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 2 2 0 1 3 1 0 0 0 0 3

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1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 4 2 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3

1 1 0 4 2 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 7

x1 1 x2 7 x5 x x3 2 4 x5 , 2 , x5 任意(自由未知量) x 1 3 x 5 4

为方程组的全部解.首页 上 页 下 页 尾 页

一般地， 设线性方程 AX b 的增广矩阵为 ： a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 行初等变换 A b am 1 am 2 amn bm c1,r 1 c1n d1 1 1 c2,r 1 c2 n d2 1 cr , r 1 cr , r 1 d r 0 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 首页 上 页

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c1,r 1 1 1 c2,r 1 1 cr , r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1. d r 1 0 , 无解；

c1n c2 n

cr , r 1 0 0 0

d1 d2 dr d r 1 0 0

2. d r 1 0 , 有解 ;x 1 r n : 有唯一解 ： 1 d1 , x2 d2 , , xn dn . 2 r n : 有无穷多个解；首页 上 页 下 页 尾 页

x

1 c1,r 1 xr 1 c1n xn d1 x c 2 2, r 1 xr 1 c2 n xn d 2 xr cr ,r 1 xr 1 crn xn d r

xr 1 , xr 2 , , xn : 自由未知量 .

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