圆心角、弦、弧关系

圆心角、弦、弧关系定理教案+例题+作业

圆心角、弦、弧之间的关系

回顾1.圆是 对称图形，它的对称中心是 ．

2.____________________________________叫做圆心角． 3、垂径定理：

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系

［知识要点归纳］

1.

一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 3. 对的弦的弦心距相等。

4. 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

（1心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。

1°的弧。 N°的弧对着N°的圆心角，也距也不相切。

而不是角与弧相等，

”之类的错误。因为角与弧是两个不

时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，

（2

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（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结：

（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。 【学海导航】

1. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？

相等的弦： ；相等的弧：

理由：

结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．

表达式： 同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等， 所对的弦也 ．

表达式： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ， 所对的 也相等．

表达式：

注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。

5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？

弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE

⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？

如图,在⊙O中

∠1=30°,则∠2=__________ 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

4. ⊙O中，直径AB∥CD弦，AC度数 60 ，则∠BOD=______。

5. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ︵︵︵

6.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 。 典型例题：

例1．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60 °，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC

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例2. 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥ABA 于点E，OF⊥CD于点F， （1）如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF，那么

的大小有什么关系？为什么？AB与CD的大小

有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

归纳： 。 【演练反馈】

1.如果两个圆心角相等，那么（ ）

A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对 2．下列说法中，正确的是（ ）

A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等

3.如图，AB是⊙O的直径， BC＝CD DE , ∠COD=35°，求∠AOE的度数。

二、探究新知

（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。（可以出题让学生判断）

将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能证明吗？

B’B’

得出：

（2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？ 做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB，连

结AB和A’B’，则弦AB与弦A’B’，

弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。 （3）说一说

尝试将上述结论用数学语言表达出来。

（4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？

学生小组讨论，归纳得出：

A

EB

三、例题讲解

例：如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°，

O·

D

求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 F

C

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四、巩固练习

1.

（1）如图所示：（2）在⊙O和⊙O=

。

2. 已知：如图所示，

变式练习1

变式练习2：已知：

变式练习3：已知：

BF

。

CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则CA与

M、N分别为OA、OB中点，CM⊥AB，DN∠COD,则有 弧AB=2? AB、CD的延长线 求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC

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∴AB＝CD

弦AB、DC 若PO平分∠APC 弦AB、CD交于P PO平分∠APC （2）在RT△ 1

2 OMP

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A.AB 2CD B.AB 2CD

C.AB 2CDD.AB 与2CD

的大小关系不可能确定

分析：要比较AB 与2CD

的大小，可以用下面两种思路进行：

（1）把AB 的一半作出来，然后比较1

2

AB与CD的大小；

（2）把2CD 作出来，变成一段弧，然后比较2CD 与AB

的大小。

解法一：

过O点作OF AB于E，则AF FB 12AB ，AE EB 1

2

AB

AB 2CD， AE CD 1

2

AB

AF FB

， AF FB（等弧对等弦）

在 AFB中，AF FB AB， 2AF AB

AF CD

2AF 2CD ，即AB 2CD

故选A。

解法二：

如图，作弦DE CD，连结CE，则DE CD 1

2

CE

在 CDE中，有CD DE CE 2CD CE

AB 2CD， AB CE

AB CE ， AB 2CD

例3. 如图，CD为⊙O的弦，AC BD

，OA、OB交CD于F、E。

求证：OE＝OF

证法一：连结OC、OD OC OD， C D

AC BD

， COA BOD（等弧所对的圆心角相等）

COF DOE OE OF

证法二：过 …… 此处隐藏：2190字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……