2009年山东卷高考理科数学试题

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合A {0，2，a}，B {1，a}，若A B {0，1，2，4，16}，则a的值为

A.0 B.1 C.2 D.4 2

3 i等于 1 i

A.1 2i B.1 2i C.2 i D.2 i 2.复数

3.将函数y sin2x的图象向左平移

解析式是

A.y cos2x B.y 2cosx C.y 1 sin(2x 2 个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数4

4) D.y 2sin2x

4.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.2

B.4

C.2

D.4 33

表示两个不同的平面，5.已知 、则“ ”是“m ”m为平面 内的一条直线，

的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

ex e x

6.函数y x的图象大致为

e e x

7.设P是 ABC所在平面内的一点，BC BA 2BP，则

A.PA PB 0 B.PC PA 0

C.PB PC 0 D.PA PB PC 0

8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

A.90 B.75 C.60 D.45

x2y2

29.设双曲线2 2 1的一条渐近线与抛物线y x 1只有一个公共点，则双曲线的ab

离心率为 A.55 B.5 C. D.5 24

log2(1 x)(x 0)f(x) 10.定义在R上的函数f(x)满足，则f(2009)的 f(x 1) f(x 2)(x 0)

值为

A. 1 B.0 C.1 D.2

11.在区间[ 1，1]上随机取一个数x，cos

A. x2的值介于0到1之间的概率为 21212 B. C. D. 3 23

3x y 6 0 12.设x、y满足约束条件 x y 2 0，若目标函数z ax by(a 0，b 0)的最

x 0,y 0

23 的最小值为 ab

25811A. B. C. D.4 363大值为12，则

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.不等式2x 1 x 2 0的解集为__________.

14.若函数f(x) a x a(a 0，且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是_______.

15.执行下边的程序框图，输入的T

___________. x

16.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x 4) f(x)，且在区间[0，2]上是增

函数.若方程f(x) m(m 0)在区间[ 8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1 x2 x3 x4 ____________.

三、解答题：本大题共6分，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分) 设函数f(x) cos(2x

3) sin2x.

⑴求函数f(x)的最大值和最小正周期；

⑵设A、B、C为 ABC的三个内角，若cosB 1C1，f() ，且C为锐角，求324

sinA.

18.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB 4，BC CD 2，AA1 2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点. ⑴证明：直线EE1//平面FCC1；

⑵求二面角B FC1 C的余弦值

.

19.(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

⑴求q2的值；

⑵求随机变量 的数学期望E ；

⑶试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

20.（本小题满分12分）

*等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n N，点(n，Sn)均在函数

y bx r(b 0且b 1，b，r均为常数)的图象上.

⑴求r的值；

gan 1)n (N⑵当b 2时，记bn 2(lo2*)明：对任意的n N，不等式.证*

b 1b1 1b2

1 成立. ...n

b1b2bn

21.（本小题满分12分）

AB上选择一点C建两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B

AB的中点时，的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在 对城A和城B的

总影响度为0.065.

⑴将y表示成x的函数；

AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对⑵讨论⑴中函数的单调性，并判断弧

城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分14分）

x2y2

设椭圆E：2 2 1(a，b 0)过M

(2

，N，1)两点，O为坐标原点. ab

⑴求椭圆E的方程；

⑵是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B， 且OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由.