Egyhzwa_a高等数学试题及答案(2)

１．（－１，１）

２．２ｘ－ｙ＋１＝０

３．５Ａ

４．ｙ＝ｘ2＋１

１

５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ ２

６．１

７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

π/2 π

８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ 0 0

９．三阶

１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

Egyhzwa_a高等数学试题及答案

（一）每小题１分，共１０分

１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②

６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③

（二）每小题２分，共２０分

１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③

１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②

三、计算题（每小题５分，共４５分）

１ １．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分）

２

１ １ １ １ １

──ｙ'＝──（────－──－────） （２分） ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３ __________

１ ／ ｘ－１ １ １ １

ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分）

２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３

１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６） ２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分）

x→4/3 ３

2

１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）－１６］

＝ ────────────────────── ＝８ （２分）

３

１＋ｅx－ｅx

３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分）

Egyhzwa_a高等数学试题及答案

（１＋ｅx）2

x

ｄｘ ｄ（１＋ｅ）

＝∫─────－∫─────── （１分）

xx2

１＋ｅ （１＋ｅ） １＋ｅx－ｅx １

＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分） １＋ｅx １＋ｅx １

＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分）

x

１＋ｅ

４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）

ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）

ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分） ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２

所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分） １ ０ －３ __ __

６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分） __ ｄｙ ＝ｅx + √y + sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋ ─────］ （２分）

___ ２√ｙ π asinθ １ π

23

７．解：原积分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ ∫ ｓｉｎθｄθ （３分）

0 0 ２ 0 π/2 ２

＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分） 0 ３

ｄｙ ｄｘ

2

８．解：两边同除以（ｙ＋１） 得 ──────＝────── （２分）

22

（１＋ｙ） （１＋ｘ） ｄｙ ｄｘ

两边积分得 ∫──────＝∫────── （１分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 １ １

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亦即所求通解为 ──── － ──── ＝ｃ （２分） １＋ｘ １＋ｙ

１ １

９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分） １－ｘ ２＋ｘ

１ １ １

＝──── ＋ ── ───── （１分）

１－ｘ ２ ｘ １＋── ２

n

∞ １ ∞ ｘ ｘ

＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ │ｘ│〈１且│──│〈１ ） （２分）

n

n=0 ２ n=0 ２ ２

∞ １

nn

＝∑ ［１＋（－１） ───］ｘ （ │ｘ│〈１） （２分）

n+1

n=0 ２

四、应用和证明题（共１５分）

ｄｕ

１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分） ｄｔ １

解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m） （３分） ｋ

ｍｇ

由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m） （２分） ｋ

__ １

２．证：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （２分）

ｘ

１ １

而且当ｘ〉１时，ｆ'（ｘ）＝ ── － ── 〉０ （２分） __ ｘ2 √ｘ

因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加 （１分）

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从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ （１分） ___ １

即当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── （１分）