长沙理工大学高数下册练习册答案(3)

u2 u2 u u1 u3 u2 u1 u2

) () （ ） （ ） ()2 ()2. s t x y2 x2 y2 x2 y

所以 (

2u u 1 u u

() ( (2)因为2 )

s s s s2 x2 y

1 2u x 2u y3 2u x 2u y

(2 ) ( 2)

2 x s x y s2 y x s y s11 2u3 2u31 2u 2u

( ) ( )

22 x22 x y22 y x2 y21 2u 2u3 2u

, 22

4 x2 x y4 y

2u u u1 u

2 () ( )

t t t t2 x2 y

3 2u x 2u y1 2u x 2u y

(2 ) ( 2)

2 x t x y t2 y x t y t3 2u1 2u13 2u1 2u

( ) ( )

22 x22 x y22 y x2 y23 2u3 2u1 2u

, 22

4 x2 x y4 y

2u 2u 2u 2u

所以 2 2 2 2.

x y s t

习题9.5

(A)

yz xyzxz 2xyzyxy 1 yxlny

1.(1)；(2). ,

xyx 1 xylnxxyz xyxyz xy

2.解:设F(x,y,z) x y z 4z,则Fx 2x,Fy 2y,Fz 2z 4.

2

2

2

FyF z2xx z2yy

, x

xFz2z 42 z yFz2z 42 z

z)22

(2 z) x,

(2 z)2(2 z)3

z z x

() () 2 x x x x2 z

2

2 z x(

z

)

2z z xxy y

() () . 23

x y y x y2 z(2 z)(2 z)

x(

3.解:

z z x z y z z

eucosv eusinv v, u x u y u x y

z z x z y z z eu( sinv) eucosv u, v x v y v x y

z z

(vcosv usinv)e u, (vsinv ucosv)e u. x y

2

2

2

解得

4.证:设F(x,y,z) x y z yf(),则

z

y

Fx 2x,Fy 2y f()

zyzzzf (),Fz 2z f (). yyy

zzz

2y f() f ()FyF z2x zyyy

x ,

zz xFzFzf () 2z yf () 2zyy

zzz

(x2 y2 z2)2x 2xy[2y f() f ()] zyyy222 z 2xy (x y z)

z x yf () 2zyzz2

2x(x2 y2 z2) 2x(x2 y2 z2) 2xzf () 4xz 2xzf ()

yy

2xz.

f () 2zf () 2z

yy

(B)

1.(1)0；(2)

y zx z

,. x yy x

2.解:

du f fdy fdz . (*) dx x ydx zdx

由e xy 2两边对x求导,得

xy

dyydydy

. ) (y x) 0, dxxdxdx

x zsintx

dt两边对x求导,得 由又e 0t

e(y x

xy

sin(x z)dzdzex(x z) (1 ), e . 1 x zdxdxsin(x z)

x

du fy fex(x z) f

将其代入(*)式,得 [1 ].

dx xx ysin(x z) z

3.解:在xe ye ze两边微分,得 edx xedx edy yedy edz zedz,

x

y

z

xxyyzz

(1 x)exdx (1 y)eydy

故 dz . z

(1 z)e

由u f(x,y,z),得

du fx dx fy dy fz dz (fx fz

x 1x zy 1y z

e)dx (fy fz e)dy. z 1z 1

习题9.6 (A)

112

)；(2)i 2j 2k,2j,5 4t2. 1.(1)(,,

222

2.解:曲线在对应于t 1的点为(,2,1),该点处的切向量

12

T (x (1),y (1),z (1)) (

111

, ,2t) (, 1,2), t 1

(1 t)2t24

x

11

x

y 2 z 1,即 y 2 z 1. 于是曲线在该点处的切线方程为 1 121 484

11

所求法平面方程为 (x ) (y 2) 2(z 1) 0,即 2x 8y 16z 1 0.

42

3.解:

z z

4x, 2y,曲面在点(1,1,3)处的一个法向量为n (4,2, 1), x y

于是曲面在该点处的切平面方程为 4(x 1) 2(y 1) (z 3) 0, 即 4x 2y z 3 0.

所求法线方程为

x 1y 1z 3

. 42 1

(B)

1.解:xt 1,yt 2t,zt 3t2,设所求点对应的参数为t0,则曲线在该点处的一个切向量为

2

T (1,2t0,3t0).已知平面的法向量为n (1,2,1),由切线与平面平行,得n T 0,即

1 4t0 3t0 0,解得t0 1和

2

1111

,于是所求点为( 1,1, 1)或( ,, ).

39273

2.解:设F(x,y,z) x2 2y2 z2 1,则曲面在点(x,y,z)处的一个法向量为 n (Fx,Fy,Fz) (2x,4y,2z).

已知平面的一个法向量为(1, 1,2),由已知平面与所求平面平行,得

2x4y2z11

,即x z,y z. 1 1224

z2z22

代入椭球面方程,得 () 2( ) z 1.

24

解得 z 2

2212,则x . ,y 1111211

所以切点为(

2122, , 2). 1121111

所求切平面方程为 (x

2122

) (y ) 2(z 2) 0, 1121111

即 x y 2z

. 2

2

2

2

3.解:所求曲线的切线,也就是曲面x y z 3x 0在点(1,1,1)处的切平面与平面 2x 3y 5z 4的交线,利用曲面的切平面方程得所求切线为

(x 1) 2(y 1) 2(z 1) 0， x 2y 2z 3， 即

2x 3y 5z 4.2x 3y 5z 4.

这切线的方向向量为(16,9, 1),于是所求法平面方程为 16(x 1) 9(y 1) (z 1) 0,即16x 9y z 24 0.

习题9.7 (A)

1 24.(1)(i j),；(2)(3, 2, 6),(6,3,0).

22

5.解:先求切线斜率:在y 4x两边分别对x求导,得2y

2

dy

4, dx

于是

dy2dy ,k dxydx

x 1

y 2

22

,). 1,切线方向l (1,1),el (

22

又

z x

z l

x 1y 1

2xy2

x 1y 2

8,

z y

x 1y 2

(2x2y 4)x 1 0,

y 2

故

(1,2)

8

22 0 42. 22

3.解:(1)fx(x,y,z) sinyz,fy(x,y,z) xzcosyz,fz(x,y,z) xycosyz,

则gradf(x,y,z) sinyzi xzcosyzj xycosyzk.

0 1

(2)fx(1,3,0) 0,fy(1,3,0) 0,fz(1,3,0) 3,l (i 2j k),

6

则

f l

(1,3,0)

0

121. 0 3 ( ) 2666

(B)

1.解:fx(x,y)

xx2 y2

cos ,fy(x,y)

yx2 y2

sin ,e cos i sin j,

则

f

cos cos sin sin cos( ). e

2

2

2

2.解:设F(x,y,z) x y z 1,则Fx 2x,Fy 2y,Fz 2z,于是球面在点

(x0,y0,z0)处的外法线方向向量可取为l (Fx,Fy,Fz)(x0,y0,z0) (2x0,2y0,2z0),

l的方向余弦为cos

x0x y z

20

20

20

,cos

y0x y z

20

20

20

,cos

z0x y z

20

20

20

,

又

u u u 1, 1, 1,故 x y z

u l

(x0,y0,z0)

1

x0x y z

20

20

20

1

y0x y z

20

20

20

1

z0x y z

20

20

20

x0 y0 z0x y z

20

20

20

.

3.解:令u x t,v yt,则

x

e

(x t)2

dt e( du) edu， ye

x

u2

x

u2

y

(yt)2

dt edv，

y2

v2

0 z1 x2 zy4

e 2ye，l (i j)， x y2 z l

111 1 2e (1 2e). 222