长沙理工大学高数下册练习册答案

习题8.1

（A）

122122

1.（1）(0, 3,7)，0， 3j；（2）(,, )或( , ,).

333333

2.解:M1M2 ( 1, 2,1)， 与M

1M2121

( , ,)，

222121

,cos ,cos ； 222

所以M1M2的方向余弦为cos M1M2的方向角为

2 3

, , ； 343

与M1M2方向相反的单位向量为(,

1

221, )， 22

所以与M1M2方向相反且长度为

11211211

的向量为(,, ) (,, ).

22224442

3.解:设所求点为M(0,y,z)，由题意， MB MC，即

9 (y 1) (z 2) 16 (y 2) (z 2) (y 5) (z 1)， 解得y 1,z 2，故所求点为(0,1, 2).

（B）

2

2

2

2

2

2

， ，依题意有 ， 2 . 1.解:设a的方向角为 ，

因为cos 解得

2

cos2 cos2 1，即cos2 cos2 cos22 1，

3

3 3

，从而 ； ， 24424422

3 3

， 不合，舍去. 42

0 ,0 ,0 , 于是a的方向角为

4

，

4

，

2

或

2

，

2

， .

2.解：因为a,b夹角平分线的方向必为a b的方向，a,b分别表示a,b上的单位向量，

ab

a ,b .

ab

ba ab

令c a b ,则a,b间夹角平分线上的单位向量为 ab

ba c

c cba

习题8.2 （A）

ab. ab

1.(1)( 4,2, 4)；(2)3，

1

(13i 2j 14k). 341

2.解: a b c 0, a (a b c) a 0 0 a a a b a c 0 2 2

a a b a c 0 a b a c a 4.

同理可得b a b c 9,c a c b 16，从而

29

2(a b b c c a) 29, a b b c c a .

2

3.解:依题意有p i,p a，故p//a i，a i (12, 3, 4) (1,0,0) (0, 4,3)，

a i13

p a 13,p 13 (0, 4,3).

5a i

（B）

1.解:以u,v为邻边的平行四边形的面积S u v，

u v (2a 3b) (a 4b) 2a a 3b a 8a b 12b b 11a b，

S u v 11a b 11a b 11absin(a,b) 11.

a b1

2.解: cos(a,b) , sin(a,b) .

2ab2

m n (2a 3b) (3a b) 11a b 11a b 11absin(a,b) 113.

习题8.3 （A）

1.(1)(x 1)2 (y 3)2 (z 2)2 14；(2)x2 4y2 4z2 9,x2 4y2 z2 9. 2.略

(B)

1.k 0时,表示椭圆抛物面；k 0时，表示双曲抛物面；k 0时,表示抛物柱面. 2.解:设M1(x1,y1,z1)为曲线L上任一点,由L的方程知x1 1及M1的坐标为(1,y1,z1). 当L绕z轴旋转到某一位置时,M1变到另一点M(x,y,z),竖坐标不变,z z1；点 M,M1到z轴距离不变,1 y1 x2 y2. 又因M1在L上,所以y1 z1 z.

因此1 z x y,即x y z 1,此旋转曲面为单叶双曲面.

习题8.4 (A)

2

2

2

2

2

2

2

x2x22

y 1与直线x 2的交点，椭圆柱面 y2 1与平面x 2的交线； 1.(1)椭圆44

x t (2) y t.

z 2t

2.解:柱面x y ax 0即为投影柱面,曲线在xoy面上的投影曲线方程为

2

2

x2 y2 ax 0

；

z 0

由方程组消去x,得投影柱面方程为z a(z y)，

4

2

2

2

a2y2 (a2 1)z2 2a2z 0

则曲线在yoz面上的投影曲线方程为 .

x 0

3.解:由方程组消去y,得母线垂直于xoz坐标面的柱面方程为x xz z 4,此柱面通 过已知空间曲线,故即为所求柱面.

(B)

1.解:由第一,二两个方程消去参数 ,得x2 y2 a2,螺旋线在xoy坐标面上的投影曲线

2

2

x2 y2 a2

方程为 ；

z 0

由第一,三两个方程消去参数 ,得x acos

z

,螺旋线在xoz坐标面上的投影曲线方程 b

z

x acos 为 b；

y 0

由第二,三两个方程消去参数 ,得y asin

z

,螺旋线在yoz坐标面上的投影曲线方程 b

z

y asin 为 b.

x 0

2.解:设圆心坐标为(x,y)，圆与抛物线的切点坐标为(t,p)，则有p t. 又在(t,p)点切线的斜率k

3

2

dp1

2t,则在该点的法线方程为Y p (X t), 即 dt2t

3

2tY 2t t X.因圆心在此法线上,故得2ty 2t t x.

1

,其中(X1,Y1)为圆上动点坐标,点(t,p)在此圆 4

1122222

上,故有(t x) (p y) ,即(x t) (y t) .

44

而圆的方程为(X1 x) (Y1 y)

2

2

综上有所求圆心(x,y)轨迹参数方程为:x t

t4t 1

2

,y t2

124t 1

2

.

习题8.5

(A)

1.(1)1；(2)3.

2.解:所求平面的法向量为n (7, 3,1),所求平面方程为7(x 1) 3(y 2) (z 3) 0, 即7x 3y z 16 0.

3.解:通过x轴的平面方程为By Cz 0,将已知点的坐标代入,得B 2C,所求平面方 程为 2Cy Cz 0,即2y z 0.

4.解:平行于y轴的平面方程为Ax Cz D 0,将两已知点的坐标代入,得

4A 2C D 0

,解得A 9C,D 38C,则所求平面方程为

5A 7C D 0

9Cx Cz 38C 0,即9x y 38 0.

(B)

1.解:因为所求平面垂直于平面x y z 7和3x 2y 12z 5 0,

所以所求平面的法向量n垂直于n1 (1, 1,1)和n2 (3,2, 12),则n//n1 n2， n1 n2 ，取n (2,3,1)，故所求平面方程为2x 3y z 0. （10，15，5）2.解:因为所求平面过点M1,M2且垂直于平面x 2y 3z 1 0, 所以所求平面的法向量n M1M2 (2,2,3),且n n1 (1, 2,3),

故n//M1M2 n1, M1M2 n1 (12, 3, 6),,取n (4, 1, 2),则所求平面方程为 4(x 1) (y 1) 2(z 2) 0,即4x y 2z 9 0.

习题8.6

(A)

1.(1)0；(2)

32

. 2

2.解:因为所求直线平行于两平面及x 2z 4 0,y 3z 5 0,所以所求直线的方向向 量垂直于这两平面的法向量n1 (1,2, 4),n2 (0,1,3),从而所求直线的方向向量平行于 n1 n2 （10， 3,1).故所求直线方程为

x 3yz 1

. 10 31

3.解:点( 1,2,0)在平面x 2y z 1 0上的投影即过点( 1,2,0)且垂直于平面 x 2y z 1 0的直线与平面x 2y z 1 0的交点.

过点( 1,2,0)且垂直于平面x 2y z 1 0的直线方程为

x 1y 2z

,其参数 12 1

方程为x 1 t,y 2 2t,z t,代入x 2y z 1 0,得 ( 1 t) 2(2 2t) ( t) 1 0,解得t

2522

. 从而得投影点的坐标为( ,,). 3333

4.解:过直线

2x 4y z 0

的平面束方程为(2x 4y z) (3x y 2z 9) 0,

3x y 2z 9 0

即 (2 3 )x ( 4 )y ( 1 2 )z 9 0, 其中与平面4x y z 1垂直的平面满足条件

(2 3 ) 4 ( 4 ) ( 1) ( 1 2 ) 1 0,

解得 1,则投影平面的方程为x 3y z 9 0,故投影直线的方程为

3x y z 9 0

.

4x y z 1 …… 此处隐藏：3164字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……