华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(2)

0 0

0a21

a12

0

0a21

a1n

a21 an1

a22 a2n an2 ann

a22 a2n

a22 a2n

an1an2 annan1an2 ann

a a11A11 a1An。1 212 n1A

再看i j的情形，考察行列式

ai1

D1

aj1

ai2

ain

ai1ai1

ai2 ainai2 ain

与 D2 0 。 aj2 ajn

D2是将D1的第j行元素换成第i行的元素，其他行的元素不变，这样D1与D2的

第j行的代数余子式完全相同，D2按第j行展开有：

D2 ai1Aj1 ainAjn 0 。

该定理理论上有重要的价值，后面有些地方会用到。另外，它也可以结合前面的性质简化行列式的计算。

5

372

10235

200

10

例6：计算

0 2

23

160（按第4列展开） 解：原式=( 1)2 40 23 10

25

025

5 31

00

00 000 0

02000300

2000

1000

例7：计算行列式 0n00

n 1

解：原式=( 1)1 n0n

(n 4)(n 1)

2

( 1)1 n ( 1)1 (n 1) ( 1)1 2n!

n 1

=( 1)n!

事实上，此题还可以利用定义及性质2来求解，读者自行练习。

1

24058323023

例8：设D

1674

求：1）A13 2A23 A33 3A43；

2）3A13 7A23 5A33 5A43。

解：1）代数余子式是第3列的，它们的系数是第1列的，从而，

A13 2A23 A33 3A43 0

2）因为 3A13 7A23 5A33 5A43

＝(1 2)A13 (2 5)A23 ( 1 6)A33 (3 2)A43 =(1A13 2A23 1A33 3A43) (2A13 5A23 6A33 2A43) =0+0=0

22 31 10253 10 3 ( 1) 120 3A13 7A23 5A33 5A43 10A33＝

32

320

120

1

例9：计算x1

x121

解：原式 x1

c3 c1

x12

c2 c1

1x22x21x3 2x30x2 x12x2 x12

11

x3 x1 (x2 x1)(x3 x1)

x2 x1x x12

x3 x12

＝(x2 x1)(x3 x1)(x3 x2)。 利用递推或数学归纳法可以得到：

11

x1x2

n 1

x1n 1x2 1 xn

(xj xi) 。

1 i j n

n 1

xn

上述行列式称为范德蒙（Vandermonde，735-1796，法）行列式，这个结果以后可以直接利用。

有了按行（列）展开定理，下面介绍介绍n元一次方程组（3）解的结论。 定理3：（克莱姆(Cramer，1704－1752，瑞士)法则）方程组（3）的系数行

a11

列式D

a12 a1n

0，则（3）有唯一解xj Dj/D j 1,2, ,n，其中

a21 an1

a22 a2n an2 ann

Dj是将D中第j列换成常数列后得到的行列式。

证明：将方程组（3）中的n个方程依次两边乘以A11,A21, ,An1，再把它们

相加可得：

(a11A11 a21A21 an1An1)x1 (a12A11 a22A22 an2An1)x2 (a1nA11 a2nA21 annAn1)xn b1A11 b2A21 bnAn1

由定理2，即有Dx1 D1 从而 x1 D1/D。

同理以A1j,A2j, ,Anj依次乘方程组（3）的n个方程两边并相加起来，再应用定

理2，可得 xj Dj/D (j 2, ,n)。

易验证 xj Dj/D (j 1,2, ,n)是（3）的解。

关于解的唯一性在第三章再给予说明。事实上用克莱姆法则求解方程组比较麻烦，也不具有一般性，第三章再作进一步讨论。

习题一

1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n级排列 n(n 1) 2。1 2.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列； 2）1i25k4897为偶排列。 3.由定义计算行列式

a11aa21a

a31a

1222324252

000aa

4353

000aa

4454

。 a

4555

a41aa51a

a

4.计算行列式：

42

0 2

1； 2）2 4

1111

1 111

11 11

111 1

； 3）

410

124202117

；

1） 13

520

4）

432

64278

1694

；5）

a2b2c

2

(a 1)2(b 1)2(c 1)

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

。

5 12525

5.计算n阶行列式：

d2(d 1)2(d 2)2(d 3)2

x0

1）

yx000

0yx00

000x0

000yx

； 2）

11000

2 1200

30

n 1

00

n00 0

；

00y

2 00

2 n

n 11 n

a1

3）

1 1

11

12

； 4）2

2222

2232

222 。 n

1 1

1 a2

1 an

2

提高题

1.已知n级排列j1j2 jn 1jn的逆序数为k，求排列jnjn 1 j2j1的逆序数。 2.由行列式定义计算

2x

f(x)

xx

11xx2 xn 1a12 a1n 1

2n 1

，其中ai互不相同。 a2 a2

13111

1 2x11xa1a2an

中x4与x3的系数，并说明理由。

3.设P(x) 1

1

2n 1

an an

1）说明P(x)是一个n 1次多项式； 2）求P(x) 0的根。

4.证明：

11

1

11 x1 1

11 1

11

)xx( 1)x ( 2) x( n 1 ( 1n

1)

2 x

1

n x