华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)

第一章 行列式

行列式是线性代数的基础知识，它在数学的其他分支中有很重要的应用。

§1 行列式的定义

一、引言

我们先看二元一次方程组

a11x1 a12x2 b1

ax ax b 2112222

当a11a22 a12a21 0时的解。由消元法易得

b1a22 b2a12

x 1aa aa 11221221

(1)

x b2a11 b1a21

2 a11a22 a12a21

在中学数学中，定义二阶行列式(1)可写为：

b1

x1

a12

a11

a11a21

a12a22

a11a22 a12a21，则上述方程组的解

b1

b2a22a21b2

，x2 。 (2)

a11a12a11a12a21

a22

a21

a22

可以发现解(2)的形式比解(1)的形式更于记忆。对于三元一次方程组也有类

似的结论。更一般的，可以推广到n元一次方程组

a11x1 a12x2 a1nxn b1 ax ax ax b 2112222nn2

(3)

an1x1 an2x2 annxn bn

的情形，为此我们先做一些准备。

二、排列

定义1：由1,2, ,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

n级排列通常记为j1j2 jn，易知n级所有不同排列的个数为n!。例如：

45321是一个5级排列，5级排列的总数为5!=120。

定义2：一个排列中，某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆

序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。

排列j1j2 jn的逆序数通常记为 (j1j2 jn)。记 k表示排列j1j2 jn中数字k前面比k大的数的个数，则有 (j1j2 jn) 1 2 n，其中 n 0。例如 (45321) 4 3 2 9， (12 n) 0。

定义3：逆序数为奇（偶）数的排列，称为奇（偶）排列。 例： (45321)= 4+3+2=9，该排列为奇排列； (12 n)=0，该排列为偶排列。 把排列中某两个位置上的数进行交换得到另一排列，这样一个变换称为对换。对于对换，有下面主要定理：

定理1：对换改变排列的奇偶性。 证明：分两种情形来讨论。

1）对换的两个数相邻，设排列为 jk 。当j k时，记

( jk ) j k ，则

( kj ) ( j 1) k 1；

当j k时，同理可得 ( kj ) ( jk ) 1。从而定理成立。

2）对换为一般情形，设排列为： ji1i2 isk 。

先将j依次与i1,i2, ,is对换变为 i1i2 isjk ，经过s次对换，再将k依次与

j,i1,i2, ,is对换变为 ki1i2 isj ，经过了s 1次对换。故排列的对换共经过了

s (s 1) 2s 1次的相邻对换，从而定理成立。

三、行列式定义

定义4：设aij(i,j 1,2, ,n)是n2个数（也称为元素），定义n阶行列式

a11a21 an1

其中

j1j2 jn

a12 a1n

( 1) (j j)aja2j aj jj j

1

n

a22 a2n an2 ann

11

2

nn

。

12n

表示对所有的n级排列求和。

说明：1. n阶行列式是一个数，由n!项的代数和所构成。

2. 除符号外，每项为n个数的乘积，这n个数取自于不同的行和列。 3. 乘积a1j1a2j2 anjn的n个数（元素）（从左到右）行数按自然顺序由小到

大排列，元素的列数构成的排列为j1j2 jn，排列逆序数 (j1j2 jn)的奇偶性决定这一项的符号。 例1：按定义计算

a11a21

a12a22

。

解：

a11a21

a12a22

( 1) (j1j2)a1j1a2j2

j1j2

( 1) (12)a11a22 ( 1) (21)a12a21 a11a22 a12a21。

结果与中学里的直接定义结果一致。三阶行列式亦是如此。

a11

a12a220a13a23 a33

(1j2j3)

j1j2j3

a13a23 。

a33

例2：计算0

a11

a12a220

1j2j3

解：0

( 1)

(j1j2j3)

a1j1a2j2a3j3

( 1)

a11a2j2a3j3 a11a22a33。

类似地，可求得

a11a12

a1n

a11a22 ann。该行列式称为上三角行列式。

0 0

同理

a22 a2n 00

ann

00

a11a21 an1

a22

an2 ann0

00

a11a22 ann。该行列式称为下三角行列式。

a110 0

a22 0

ann

a11a22 ann 。该行列式称为对角线行列式。

行列式中从左上角到右下角这条对角线称为行列式的主对角线。 从定义可知一个n阶行列式共有n!项，计算量很大，但从例2来看，上（下）三角行列式计算比较简单。下面就介绍行列式的一些性质，以便利用这些性质化一般行列式为三角行列式，从而简化行列式的计算。

§2 行列式的性质

性质1：行列互换，行列式不变，即

a11a21 an1

a12 a1n

a11a12 a1n

a21 an1a22 an2 a2n ann

。

a22 a2n an2 ann

注：左边行列式称为右边行列式的转置行列式。

证明从略。

性质1表明行列式中行与列的地位是对称的，因此后面有关行的性质，对列也能成立。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。即

as1as2 asn at1

at2 atn

at1as1

at2 atn as1 as1

证明：记右边行列式i行j列的元素为bij，则

左边

j1j2 jn

( 1) (j1j2 jn) asjs atjt。

( 1) ( js jt ) bsjs btjt

右边

j1j2 jn

j1j2 jn

( 1) ( js jt ) atjs asjt

j1j2 jn

( 1) ( jt js ) asjt atjs ＝左边。

推论1：两行（列）元素相同，行列式等于0。

as1

as2 asn

，交换元素相同的两行，行列式不变；另由at2 atn

证明：记D

at1

性质2行列式变号，从而D D，即D 0。

性质3：某行（列）的各元素如有公因数k，则可把k提出行列式符号外，即

kai1

证明：左边

12

n

1j1

kai2 kain kai1

ai2 ain。

( 1) (jj j)a jj j

12

n

(kaiji) anjn

k

jj j

12

( 1) (j1j2 jn)a1j1 aiji anjn ＝右边。

n

推论2：某行（列）元素全为0，则行列式为0。

推论3：两行（列）元素成比例，则行列式为0。 性质4：（“加法”规则）

a11a12 a1n

an1a11 bi1

an1

a12bi2

an2 a1n

an2 ann

a11 an1

12

n

bi1 ci1bi2 ci2 bin cin

anna12ci2

a1n cin an2 ann

1j1

bin ci1

证明：左边

( 1) (jj j)a jj j

12

n

(aij bij) anjn

i

i

jj j

12

( 1) (j1j2 jn)[a1j1 aji anjn a1j1 biji anjn]＝右边。

n

性质5：某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上，行列式不

ai1

ai2

ain

ai1

ai2

ain

变。即

aj1 kai1

aj2 kai2 ajn kainaj1aj2 ajn

证明 …… 此处隐藏：2513字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……