《 解析几何》试卷A答案

盐城师范学院考试试卷

2007 - 2008 学年 第一学期

数学科学学院 数学与应用数学专业《 解析几何》试卷A

标准答案及参考标准

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题2分,共10分）

1-5 CDAAB

二、填空题(本大题共5小题10空,每空3分,共30分)

1.

6, 1,1, 1 或 1, 1,1 . 2. 3x 3y 2 0.

3. 9, 9, 9且 9. 4. x 3y z 5 0.

x25.

y2z2

9 4

1，4 9. 三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”.本大题共5小题，每题2分，共10分）

1-5 √×√××

四、计算题（本大题共3小题，每题10分，共30分）

1. 解 任取母线

x 11 y 1 1 z 1

2

上一点M x1,y1,z1 ，则过M的纬圆方程为 x x1 y y1 2 z z 1 0, x2 y2 z 1 2 x222 ……………………4’ 1 y1 z1 1 .

又M在母线上，有 x1 11 y1 1 1 z1 1

2

t .， ……………………7’ 联立消去参数有

5x2 5y2 2z2 2xy 4xz 4y z4 x4 y4 z 6 .……………………010’

2. 解 两族直母线方程分别为

w xz y 3 4 t 1 2

, u x z v

1y

34 2

, t x z 和

wy ……………………4’ 34

1 2 v x 3 z y4

u 1 2 把点 6,2,8 分别代入上面两组方程，求得

w:u 1: 2 与 t 0， ……………………6’ 代入直母线族方程，得过 6,2,8 的两条直母线分别为

xzy

3 4 2

1 2

, 1 y

0, 与

2

2 x z x 34

1 y2 3 z4

0,即

4x 12y 3

z 24

4x 3y 3z 6 0 0与

y 2 0,

4x 3z 0 . ……………………10’

3. 解 已知二次曲线的矩阵是

1 1 2

1 1 1 2 2 ， 1 2

0

1 1 2，I 1

I2

1 1 2

3 12

1 4，

所以曲线的特征方程是

2 2

3

4

0， ……………………2’ 1

解得两特征根为 所以曲线的标准方程为

1 ， 2

123， 2

x'2y'2

1

8， ……………………8’ 因而两曲线的两个主方向为

X1 1

1:Y1 2: 2 1

1:1,

X1 3

2:Y2 2: 2 1

1:1; ……………………3’曲线的两条主直径为

y x 2 1 x2 y 2

0 与

y x

x 2 1 2 y

2

0， 即 x y 2 0 与 x y 2 0. ……………………5’ 取这两条主直径为新坐标轴，得坐标变换公式为

x

' ……………………7’

y' 解出x与y

x

x' y',

y x' y' 2,代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下得的方程为

32

2x'2 y'

2

4 0， 3

这是一个椭圆.其图形如下：

五、证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 1. 证 因为

a b 2 a 2 b2

a2b si n

2 ,

a，b

a

b

2

a2 b2 cos2

a, b

， 2

10’

4’

……………………8’

……………………

……………………

所以

a b 2 a b

2

a2 b2 sin2 a, b cos2 a, b

， a2 b

2 ……………………10’

2. 证 这两直线的方向向量分别为 v

1 3, 3,4 ，v2 3,2,4 ，

在其上各取点M3,8,3 ，M M

1 2 3, 7,6 ，所以有1M2 6, 15,3 ，

因为

6 15325 1 3

34 33

34 324 3

2

4

25 1

311 17

0 3 1 157 471 0, 650

所以两直线异面. ……………………4’

v 又 341 v2 ,43,3 3

244 3 32

20, 24, 3 ……………………6’

从而两异面直线之间的距离为

d M

v 1M21 v2

v v12

.

……………………10’

3