牛顿力学与拉格朗日力学的相关性

牛顿力学与拉格朗日力学的相关性

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第 l第 2期 8卷

四川文理学院学报 (自然科学 )

20 0 8年 3月Ma .0 8 r2 0

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牛顿力学与拉格朗日力学的相关性李强(川文理学院物理与工程技术系，川达州 6 50 )四四 300

【摘

要】在求解一般曲线运动问题和约束问题中牛顿力学与拉格朗日力学运用类比的基础上，探讨

了两力学理论处理问题的相关性。

【关键词】牛顿运动方程；拉格朗日方程；等价性【中图分类号】 3 O1 【文献标识码】 A【文章编号】08 4 8 (080— 08 0 10— 86 20 )2 01— 3广义力的概念。拉格朗日方程不需要像牛顿力学那样要事先选择一组特定的坐标来建立问题的方程，是用一组而非明确规定的广义坐标建立的，即拉格朗日力学的公式是用广义坐标表示的。通过引进广义坐标，牛顿力学中有关

质点力学的问题，既可以用牛顿力学也可以用拉格朗

日力学 (有哈密顿原理 )的任何一种基本原理来表还中述。 经典力学中惟一可以用实验加以验证的是牛顿

第二定律，是这一定律，了牛顿质点力学的基础，也正构成 而拉格朗日力学却要求抽象的虚位移、功，然这种依虚显赖于思维的原理是不可能用实验加以验证的。下面就这

约束体系中坐标不独立的局限性便迎刃而解了。

两种理论的内容、及切人点做简单的讨论和类比。方程

2两种理论的类比 2 1力学规律的比较 .

1一般曲线运动问题和约束问题中两种理 论运用的差异性牛顿力学为求解力学问题提供了有效的方法，而直然接以牛顿运动定律为出发点来研究质点系统的运动，却存在着一些不足和困难。一

牛顿力学的基本观念：时间的绝对性与时空分离的观念，得它只适用于物体运动速度远小于光速的范围，使为了摆脱经典概念的束缚，且成为自然地过渡向非经典力而学的桥梁，拉格朗日力学为这种过渡做出了最好的准备。 拉格朗日方程是以达朗伯原理为基础，达朗

伯原理而的出发点是牛顿运动方程，后面进行的所有推导都只是改

方面，它在表述方式上有时显得十分复杂，如在例

球坐标系或一般曲线坐标下写运动方程比较繁琐；一方另

面，点组力学问题中包含着大量方程的微分方程组，质尤其在处理约束问题时，力学系统的独立变量的数目减少了，而引进的未知约束力和相应的约束关系反而使方程数目增多，加了求解的复杂性。增

变表述的形式。如引进广义坐标是为了使变量独立，用利虚功原理是为了去掉约束力的贡献，这些过程既没有增加也没有减少力学规律的内容。但它得到的力学系统在完全一般性广义坐标描下具有不变形式的动力学方程，概括

牛顿力学的这两种不足却能在拉格朗日力学中都能

了比牛顿力学要广泛得多的系统，同时它也提供对力学系统的动力学、稳定性、振动方程作一般性研究的可能，并发

得到很好的解决，不仅使在牛顿力学所解范畴的力学问它题得以简化，而且扩展了牛顿力学。在运用中拉格朗日力

展研究了非完整系统，是非线性完整系统的研究。特别22理论研究的切入点的比较 .

学通篇没有用一个受力图，表述的优势是不需要显含约其束力，其重点放在系统的动力学方面，不是计算作用在而系统上各部分的力；不过在某些情况下，我们希望知道约

拉格朗日力学与牛顿力学的着眼点是不一样的。牛顿力学方法是以质点为对象，把着眼点放在作用于物体上的外界因素 (,力)在处理质点系统问题时，分别考虑各须

束力就可采用拉格朗日未定乘子方程一一

:

∑A A

() 1

个质点所受的力，来推断整个质点系统的运动，拉然后而格朗日在处理问题时，以整个力学系统作为对象，广义用

求解，中的未定乘子“”其 正好是所求的约束力。拉格朗 日力学另一个完全独立但同等重要的特点是广义坐标和

坐标来描述整个力学系统的位形，眼于体系的能量 (着如

【收稿日】07 1_2期 2(— O 6 ) 【作者简介】 强(95 )男，李 16~,四川渠县人，副教授，从事物理教育技术与理论物理研究。主要

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李

强：牛顿力学与拉恪朗日力学的相

关性

20 0 8年第 2期

动能和势能 )概念。实际上，在拉格朗 E表述中没有一处 l引入过力的概念，主要是因为能量是标量，这并且一系统的拉格朗 E函数是不随坐标变化而变化的；力学系统受 l在

即：’ =

() 7

这正是牛顿第二定律的表达式，明在广义坐标就是直角表坐标情形下，拉格朗 E方程和牛顿动力学方程是完全等价 l的。

到理想约束时，可在不考虑约束力的情况下来解决系统的运动问题；另外牛顿力学用矢量 (力、度、如速角速度、力矩等)形式来考虑力学系统，在拉格朗 E力学中运动方程而 l

3 2两种理论的力的分类 .在质点系牛顿力学，力分为外力和内力的结果，将导

完全是在位形空间以标量运算的形式获得的，因而往往我们可以把在普通空间中很复杂的运动方程变换到位形空间，并适当选择位形空间可使问题得到很大的简化 (如求

致了有关内力的一个特别的公理，即牛顿第三定律：

窍： -: - 0 d+ - ,U‘

( 8 )

解双摆问题、陀螺运动等等)。2 3方程形式的比较 .

同样，朗日学中每一个有界力要不是一个“拉格力约束力”要不就不是约束力(之为“,称给定力”也需要有 ),一

拉格朗 E动力学方程取较简洁的形式。对于有 n个 l

个关于约束力的特别的公理，公理就是达朗贝尔原这个

质点所组成，受到 k个约束条件限制的力学体系，应用牛顿定律将需要 3 k个方程联立求解，用拉格朗 E方程 n+而 l

理：在质点系动力学问题中，约束力总体可以不予考虑；单从力分类所存在的公理角度来看牛顿力学与拉格朗日力

只有 3—个，越多， n k约束这一优点就越明显。另外，上在述已谈到，运动方程是从物体受力角度导出的，拉牛顿而格朗 E方程是从能量的角度来写动力学方程的，样的好 l这处是：是，是矢量，一力能量是标量，一般来说处理标量比处理矢量要方便。二是，仅是力学范围内的一个物理力量，而能量则是整个物理学的一个基本物理量，这就为把力学规律应用到其他物理学领域开辟了可能性，拉格朗使 E方程成为力学和物理学其他分支相联系的桥梁。但由

l

学等价，种等价只是对应于内力和外力、束力和给定这约力所各自相应的公理存在而言。当然，管是内力还是外不

力都可能包含有约束力和给定力，是它们对力的分类也就是不相当的，不过在这我们只是从存在的“理”看等公来价的。

3 3两种理论的结果 ( .以例题加以说明 ) 例：一质量为 m的小环 P套在半径为 R的光滑大圆环上，并可沿大圆环滑动，圆环以非角速度 ( )环上大 t绕固定点 O在水平面 (面 )纸内转动，图 l写出小环相对如，于大环的运动方程。

拉格朗 E方程得到的各种表达式的物理图像，不如应用 l又牛顿运动方程式那样直观和简单。

3两种理论的等价比较 从以上我们看到似乎牛顿力学与拉格朗 E力学的观 l点有着根本的差异，像是两套理论来解力学问题，问好其没有相同的地方，实际上，这是一种表面现象，由下面我们

可看到它们对质点动力学所做出的正确描述都是等价 …… 此处隐藏：2889字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……