范德蒙德行列式的几点应用(2)

1ai1a11a2

1an

ai2 ain 1a12 a1n 1

2n 1

a2 a2

p ai b1b2 bn

000 0

p ai bi

b1b2 bn

0，

1a1 1a2

1an

a12 a1n 1

2n 1

a2 a2

2n 1

an an2n 1

an an

必须p ai bi，1 ≤ i ≤ n．由拉格朗日插值公式知

p x bi

i 1

j i

n

x ajai aj

．

同理可求出由恒等式

x

x2 xn 1

Q x

a1a2

an

所定义的多项式

a12 a1n 1 b1

2n 1

a2 a2 b2 0

2n 1an an bn

Q x bi

i 1

j i

n

x ajai aj

．

范德蒙德行列式的几点应用

设 p x q x x a1 x a2 x an r x ，其中r x 的次数小于n．为证

r x Qx，只需证明1≤ i ≤ n 时，r ai Q ai 即可．事实上，对每个ai， r ai p ai bi Q ai 是易见的，因此结论成立．

例12 设f y 在 a,b 上连续，在 a,b 内存在2阶导数，证明在a x b上有

f x f a f b f a

1 f c ，

x b2

这里c a,b ．

特别地，存在c a,b ，使

b a f c a b

f b 2f fa ．

4 2

证 在 a,b 上构造函数

2

y

F y

axb

y2a2x2b2

f y f a f x f b

，

则F y 在 a,b 上连续，在 a,b 内存在2阶导数．因F a F x F b 0，由中值定理存在

a x1 x x2 b，使F x1 F x2 0，故再运用一次中值定理，存在c x1,x2 ，使F c 0，即

00

F c

1x

2x2

f c f a f x f b

0，

1aa21bb2

展开行列式即得

f x f a f b f a

1 f c ．

x b2

特别地，取x

a b

，则有相应的c a,b ，使上式成立，即 2

范德蒙德行列式的几点应用

a b f f a f b f a 2

b a a

1 f c ，

2 b2

化简即得

b a a b

f b 2f f c ． f a

4 2

例13 设f x 在 a,b 内存在n 1阶导数，a x1 x2 xn b．证明存在c a,b ，使

2

i 1

n

x xi

j

j i

f xi

f

c ． n 1!

n 1

证 在 a,b 上构造函数

x

x2 xn 1x12 x1n 1

2n 1x2 x2

f x f x1 f x2 ， f xn

x1

F x x2

xn

2n 1xn xn

F x 在 a,b 内存在n 1阶导数．因f x1 f x2 f xn 0，反复利用微分中值定理，

存在c a,b ，使F

n 1

c 0，即

01

0x1x2

n 1 !

x1n 1

n 1

x2

f

F

n 1

c 1

x12 x1n 2

2n 2x2 x2

c

f x1

f x2 0．

n 1

n 1xn

1xn

按第一行展开行列式得

2n 2xn xn

f xn

x1 x1n 2

f x1 f x2 f xn

f

n 1

x1

x12 x1n 1

2n 1

x2 x2

n 1 !

n 2

x2 x2

c

x2

xn

，

n 2

xn xn2n 1xn xn

左边按最后一列展开行列式，化简可得

范德蒙德行列式的几点应用

i 1

n

x xi

j

j i

f xi

f

c ． n 1!

n 1

例14 设f x 在 a,a nh 内存在n阶导数，这里h 0．证明存在a c a nh，使

n n nn

f a nh f a n 1 h f a n 2 h 1 f a hnf c ．

1 2

证 置xi a ih，0 ≤ i ≤ n，则a x0 x1 x2

xn a nh例13的特殊情形．

14在本质上是．于是例